Résolution de 2 équation à 4 inconnus

[Dann]

bonjour,

soit les 2 équations suivantes:

13=x*1+y*0.8+z*1.4
25=x*1+y*1.9+z*1.9

pouvez vous me décrire les étapes de calcul permettant de résoudre ces 2 équations (x,y,z identiques ds les 2 équations) ?

merci

[ijkl]

Bonjour

J'ai vu que votre question n'était pas dans le cadre scolaire(sur présentation )

Par conséquent je donnerai une réponse non scolaire et une solution plus adaptée

il n'y a pas quatre inconnues mais trois inconnues

il n'y a pas une solution mais une infinité de solutions

par exemple

x=0
y=9.0350877193
z=4.12280701754

cela revient à se donner une matrice inversible (là je rajoute une ligne ) par exemple et une matrice colonne (là je rajoute une ligne) en rajoutant une ligne puis d'effectuer

[ijkl]

votre question était placé rubrique café math car elle n'est pas une question de cours (sur présentation vous donnez le contexte de votre question et ce contexte n'est pas scolaire d'où ma réponse précédente)

[lyceen95]

A priori , parler de 'matrice inversible', je ne pense pas que ce soit compréhensible pour une personne qui n'est pas à l'aise avec les maths.
Ici, on a 3 inconnues pour 2 équations, plus d'inconnues que d'équations, donc une infinité de solution.

Un mot clé pour trouver des explications, c'est 'résolution système équations inconnues méthode SUBSTITUTION'. Tu peux trouver des videos qui expliquent ... sauf qu'ici, on n'a que 2 équations et qu'on préférerait en avoir 3.

L'idée , c'est de faire 'disparaitre' les inconnues les unes après les autres.
D'abord faire disparaitre z, à partir de la 1ère équation.
La 1ère équation dit : z = (13-x -y*0.8)/1.4
Et donc, on peut réinjecter ce z dans la 2ème équation :
25 = x + y*1.9 + (13-x-y*1.4)*1.9/1.4
Ici, on peut isoler y ... et on va avoir une équation du type y=ax+b ... C'est l'équation d'une droite. Tous les points de cette droite conviennent.
Si on avait une 3ème équation, on pourrait à nouveau faire disparaitre y et z de cette 3ème équation, et du coup on trouverait x.
Puis on trouverait y
Puis on trouverait z.

[Dann]

merci pour ton aide, mais il s agit d un cas très concret qui ne repose que sur 2 équations.

[Black Jack]

Bonjour,


13=x*1+y*0.8+z*1.4 (1)
25=x*1+y*1.9+z*1.9 (2)

On peut exprimer deux des variables par rapport à la 3ème, on trouve par exemple :

1,4*(2) - 1,9*(1) :
1,4*(x*1+y*1.9+z*1.9) - 1,9*(x*1+y*0.8+z*1.4) = 25*1,4 - 13*1,9
-0,5.x + 1,14.y = 10,3
y = (10,3 + 0,5.x)/1,14
y = (20,6 + x)/2,28 (3)

remis dans (1) -->
13=x+(20,6 + x)/2,28 *0.8 + z*1.4
29,64 = 2,28x + 16,48 + 0,8.x + 3,206.z
3,206.z = 13,16 - 3,06.x
z = (13,16 - 3,06.x)/3,206 (4)

On arrive donc à :

y = (20,6 + x)/2,28
z = (13,16 - 3,06.x)/3,206

Il y a une infinité de solutions ...

On choisit une valeur quelconque pour x ...
et on calcule les valeurs correspondantes de y et z par les 2 équations ci-dessus.

exemple : on choisit x = 2
... et on calcule :

y = (20,6 + 2)/2,28 = 9,9122807017...
z = (13,16 - 3,06*2)/3,206 = 2,195882719...

Et de manière analogue à partir de n'importe quelle valeur de x

...

[Dann]

Merci pour la réponse détaillée .