SEV supplémentaires

[jeje56]

Bonjour,
E désigne l'ensemble des fonctions continues de [0;1] dans R ;
F désigne l'ensemble des fonctions constantes sur [0;1] de E ;
G désigne l'ensemble des fonctions de E dont l'intégrale entre 0 et 1 est nulle.

Il s'agit de montrer que F et G sont supplémentaires dans E.
Je sèche...

Merci de votre aide !

[infernaleur]

Salut,
tu connais la définition d'espaces supplémentaires déjà ?
Si oui il y a des trucs facile à montrer.

[jeje56]

D'accord... Ecoute ta réponse m'avance bien, merci.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Dans ce genre de question, le raisonnement par analyse-synthèse est souvent utile.
On part d'une fonction continue et on suppose qu'elle se décompose en avec constante et d'intégrale nulle. On bricole pour en déduire et (partie analyse, qui donne déjà l'unicité de la décomposition, si elle existe) et ensuite on montre que ce qu'on a trouvé pour et marche bien (partie synthèse).

[jeje56]

Merci Gabuzomeu pour la méthode, c'est bien celle que je souhaite adopter.
C'est le "bricolage" qui me pose problème ; avec tes notations, j'obtiens :
où k est la valeur de pour tout
Donc et .
La partie analyse est-elle correcte ?

[GaBuZoMeu]

Oui. On a (avec l'abus de notation habituel qui identifie une fonction constante à sa valeur constante).
La partie "synthèse" ne devrait pas te poser de problème.

[jeje56]

Merci