Salut donc du coup mon texte c'est ça (le deuxième paragraphe parlant des matrices de rang maximal)
si des fois que ça tente quelqu'un de voir si j'ai fait des fautes...(mais bon ça saoule -...faut vraiment avoir envie de
"lire" )
-Matrices de
Préalablement pour
on choisira le corps
ou le corps
désigne la matrice transposée de
désigne la matrice adjointe de
désigne la matrice identité d'ordre
désigne la matrice colonne qui est la
-ième colonne de la matrice identité d'ordre
Éventuellement on écrira
à la place de
quand il n'y aura pas de confusion possible en ayant préalablement dit de quel ordre est la matrice identité
Par conséquent
et
Formules élémentaires
Soit
de coefficients
est la matrice carrée d'ordre l'unité et de coefficient
§1.Matrices de permutation
Soit
est une matrice de permutation d'ordre
et de coefficients
Donc
Les coefficients de
sont zéro et un
Il n'y a qu'un seul
par ligne et par colonne
Les matrices de permutation d'ordre
sont associées aux permutation de
À
on associe la matrice de permutation
telle que
Avec le symbole de Kronecker où
ssi
sinon
L'ensemble des matrices de permutation d'ordre
muni de la multiplication matricielle est un groupe isomorphe à
et dont l'élément neutre est la matrice identité
§1a.
On montre qu'une matrice de permutation est inversible
Son déterminant vaut la signature
Démonstration
Le calcul de la signature compte le nombre de permutations depuis l'ordre originel
et on sait qu'à chaque fois qu'on permute les lignes (ou les colonnes) on change le signe du déterminant
De plus on montre que le déterminant d'une matrice de permutation vaut
ou
Elle est donc inversible
Comme le déterminant du produit de deux matrices carrées est le produit des déterminants de ces deux matrices et comme les matrices de permutation d'ordre
forment un groupe fini isomorphe à
alors le déterminant de la chaîne constituée d'un produit de matrices de permutation ne peut avoir d'autre valeur que
ou
§1b.
On montre que si
et
sont dans
alors
Démonstration
Évident puisque le groupe formé des matrices de permutation d'ordre
est isomorphe à
§1c.
On montre que l'inverse d'une matrice de permutation est sa transposée
Démonstration
Soit
de coefficients
est une matrice de permutation et calculons le produit de celle-ci avec sa transposée
de coefficients
et notons
les coefficients du produit
avec
avec
tel que
et comme
si
sont les coefficients de la matrice identité
§1d.
Le seul coefficient de valeur un de la colonne
de
est situé à la ligne
de cette colonne là
Par exemple
Par conséquent
Soit
une matrice carré de coefficients
On montre que la
-ième colonne de
est la
-ième colonne de
et la
-ième ligne de
est la
-ième ligne de
Démonstration
Soit
de coefficients
est une matrice de permutation et calculons
de coefficients
tel que
À présent calculons
tel que
§1e.
Si
est la résultante d'une permutation
des colonnes (resp. des lignes) d'une matrice inversible
alors
est la résultante de la même permutation
des lignes (resp. des colonnes) de la matrice
Démonstration
Évident selon
§2.Matrices de rang maximal
Soit
est une matrice de
lignes,
colonnes à coefficients dans
et de rang non nul
Donc
§2a.
On montre que l'on vérifie l'équivalence:
Démonstration:
D'une part on vérifie toujours l'implication
D'autre part comme
, si
est carrée alors
et on sait que toute matrice d'ordre
et de rang
est inversible
§2b.
On montre que l'on vérifie
Démonstration:
Supposons que
et on sait que
par conséquent
si on suppose que
alors
et donc
mais le contexte est que
ce qui contredit ce que l'on a supposé
§2c.
On montre qu'il existe une matrice inversible
d'ordre
telle que toutes ses colonnes sont aussi des colonnes de la matrice
Démonstration:
donc
et
il existe donc
vecteurs colonne de
de la matrice
qui forment un système de vecteurs libres et donc engendrent
§2d.
On se donne la matrice inversible
d'ordre
telle que toutes ses colonnes sont aussi des colonnes de la matrice
Au paragraphe précédent on a vu qu'une telle matrice existe
Et on se donne la matrice
qui vérifie l'équivalence suivante:
On montre que l'on vérifie
Démonstration:
Notons
les coefficients de la matrice identité
d'ordre
avec
et
Cette notation très peu pratique est choisie malgré tout car
est la seule matrice identité que l'on aura besoin ici
Donc en considérant le symbole de Kronecker on a l'égalité
Et notons
les coefficients de
$ avec $
$ et $
Là encore cette notation est à priori très peu pratique mais comme on va le voir elle ne sert juste qu'à dire que le coefficient
est un coefficient de
sans rentrer dans le détail de la transposition de la matrice
les coefficients de
avec
et
les coefficients de
avec
et
la
-ième colonne de
avec
la
-ième colonne de
avec
la
-ième colonne de
avec
la
-ième colonne de
avec
Selon
que l'on doit démontrer il faut donc vérifier
avec
et
Par ailleurs
et on sait que toutes les colonnes de
sont aussi des colonnes de
on peut poser l'injection
définie par
de sorte que
et par conséquent
par ailleurs on vérifie aussi
On arrive donc à l'égalité à démontrer suivante:
avec
et
par ailleurs comme
est une application de
dans
alors pour tout
dans
il existe
dans
tel que
et comme
uniquement si
et sinon
on a donc:
et on va vu que
§2e.
Soit
une matrice de permutation d'ordre
Et posons la matrice
Et considérons la matrice
qui vérifie l'équivalence
Alors on montre d'une part que
et d'autre part on vérifie l'égalité
Démonstration
Il est évident que la matrice de permutation permute les mêmes colonnes de
et
De sorte qu'en posant
et
§2f.
On considère la matrice
alors on vérifie
De plus la quantité de matrices
différentes qui vérifient
pour une matrice
de rang
donnée est la quantitée d'ensembles de
vecteurs colonne libres dans la matrice
Cas particulier:
Quand la matrice
est carrée, la matrice
est unique
Démonstration:
Du résultat précédent on obtient qu'on ne peut avoir deux matrices
différentes si on permute les colonnes de
Il faut donc construire une autre matrice inversible
à partir des colonnes de la matrice
et de telle sorte que la nouvelle matrice possède au moins une colonne différente que celles de