Cercle et parallélogramme

[joquetino]

Bonjour à tous,

Je bloque un peu sur un exercice sur les parallélogramme, c'est l'exercice 5 du site suivant :
https://ressources.sesamath.net/coll_do ... pr_5G3.pdf

En fait, il faut montrer que RSTU est un parallélogramme. Il me manque une petite brique dans la démonstration.
Je sais qu'un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
De plus, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, c'est un rectangle.
J'ai besoin de ces 2 propriétés (je crois) pour répondre à l'exercice.

Mais comment puis-je montrer ici que les diagonales de RSTU se coupent en I ?

Merci pour votre aide.

[vam]

Bonjour
déjà je te conseille de faire ton propre dessin, où tu commenceras par le parallélogramme de centre I, puis tu traceras un cercle de centre I, et tu positionneras les points U, R, S et T (comme sur le dessin d'origine)
Tu pourras considérer la symétrie de centre I, qui transforme la droite (AB) en la droite...
Je te laisse réfléchir

[joquetino]

Bonjour,

Le symétrique de (AC) par rapport à I est la droite (CD).
U et R appartenant à (AB), leurs symétriques respectifs appartiennent donc à (CD).
De plus, U et R appartiennent au Cercle C de centre I. Leurs symétriques respectifs appartiennent donc au symétrique du Cercle de centre I. Or le symétrique de ce cercle est le cercle lui-même. Donc les symétriques de U et R sont les 2 points d’intersection entre le cercle C et la droite CD, qui sont T et S.

Le symétrique de U par rapport à I étant le point U’ tel que I soit le milieu de [UU’]. On en déduit que U’=S.
T est donc le symétrique de R par rapport à I.
Les 2 diagonales se coupent en leur milieu, donc RSTU est un parallélogramme. Par ailleurs, [US] et [RT] étant 2 diamètres du cercle, RT=US.
Or un parallélogramme dont les diagonales sont de même mesure est un rectangle.

Donc RSTU est un rectangle.

Cela conviendrait ?

[vam]

Le symétrique de (AB) par rapport à I est la droite (CD)

oui
la suite de ce que tu as écrit me semble pas mal

[joquetino]

Ok merci

[vam]

Je t'en prie