Bonjour,
Je bute sur un point (de détail ?) dans la démonstration du théorème de représentation de Riesz : dans un espace topologique séparé localement compact, étant donné une forme linéaire positive de l'espace des fonctions continues à support compact, il existe une tribu et une mesure (unique) telle que la forme linéaire est l'intégrale selon cette mesure.
Je travaille sur le Rudin "analyse réelle et complexe" ; dans la construction de ladite mesure, on définit la mesure d'un ouvert comme étant la borne supérieure de l'image de toute fonction continue à valeur dans
et à support compact inclus dans l'ouvert, puis la mesure de tout autre ensemble comme étant la borne inférieure des mesures des ouverts contenant l'ensemble (en vérifiant que cela marche aussi pour les ouverts).
Là où je bute c'est ici : si on considère que l'espace est
muni de la topologie usuelle, que la forme linéaire est l'intégrale usuelle, alors la mesure de tout singleton (qui est un compact) est nulle. Il s'en suit que par sigma-additivité, la mesure de l'ensemble des rationnels de
est également nulle (ce qui est somme toute bien rassurant). MAIS, les ouverts contenant cet ensemble contiennent nécessairement l'intervalle fermé
donc d'après la définition donnée, la borne inférieure des mesures de ces ouverts est égale à 1...
Où ai-je raté quelque chose ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.
