énigme à l'énoncé énigmatique

[pascal16]

Petite énigme donnée niveau collège et dont l'interprétation de l'énoncé me laisse perplexe :

Le professeur Mc Culloch vient d’inventer une machine qui, lorsqu’on lui fournit en entrée un entier naturel, calcule et imprime un entier naturel, en respectant les quatres règles suivantes :
1. Pour tout nombre X, 2X2 donne X.
2. Si X donne Y , alors 6X donne 2Y .
3. Si X donne Y , alors 4X donne , le retourné de Y .
4. Si X donne Y , alors 5X donne Y Y , le répété de Y .
Existe-t-il un nombre que se donne lui-même ?

[lyceen95]

Si f est la fonction nulle (f(x)=0 pour tout x), alors f vérifie toutes les conditions imposées, et x=0 vérifie f(x)=x.
Si f n'est pas la fonction nulle, regardons f(0)
f(6x)= 2f(x)
Donc en remplaçant x par 0 : f(6*0) = 2f(0) . Donc nécessairement f(0)=0.
Et les autres conditions sont vérifiées (si on admet que 0 est son propre retourné, et que le répété de 0, c'est 0...)

Conclusion :
La fonction nulle respecte toutes les contraintes, et si f est la fonction nulle , alors x=0 se donne lui-même. Et c'est la seule valeur qui convient.
Peu importe s'il existe d'autres fonctions f qui pourraient vérifier toutes les contraintes, pour toutes ces fonctions f, x=0 se donne lui-même.

Si j'étais prof de collège, je ne pense pas que je proposerais cet exercice à mes élèves !

[pascal16]

Bonjour (ça m'étonne qu'on ne me l'ai pas fait remarqué)
et merci.


perso par un raisonnement j'étais arrivé à ce que le que le nombre soit composé de 0 chiffres...


il semblerait que 5464254642 soit un nombre qui se donne lui-même.
Dans l'explication donnée un retourné de (2X) devient X2 alors que chez moi c'est (retourné de X)2

[Ben314]

Salut,
Pour trouver une solution, le raisonnement à suivre est élémentaire :
Les nombres acceptables sont de la forme F2X2 où F est une suite formée de 4,5 ou 6 (qui décrit l'opérateur) et où X est une suite quelconque. On veut que le résultat soit égal à F2X2 et en particulier qu'il se termine par X2 or on ne sait rajouter des 2 que via l'opérateur 6 sauf que ce dernier rajoute un 2 au début. Pour que le 2 ajouté se retrouve à la fin, on peut utiliser l'opérateur 4 qui retourne (i.e. inverse l'ordre de tout les chiffres). Sauf que ça inverse aussi le X, mais il suffit de l'inverser une première fois avant d'ajouter le 2 au début pour que la deuxième inversion le remette dans l'ordre. Donc un bon début c'est ça :

qui a le bon goût de se terminer par X2 comme la suite de départ mais qui est évidement trop court pour être égal à la suite de départ. Donc on duplique pour augmenter la longueur :
Et on termine en constatant que, pour avoir il suffit (et il faut) prendre .

On peut trouver des tas d'autres solution, par exemple en ajoutant des 44 (qui ne font rien) dans l'opérateur et en adaptant le X. On eut aussi dupliquer (pour augmenter la longueur) à un autre moment qu'à la fin, par exemple et on prend .
Par contre, je pense que la solution ainsi trouvée est la plus courte possible avec qui fait la même chose.

P.S. : Cette énigme est tirée du livre de Raymond Smullyan "Le livre qui rend fou" (chapitre 8 : "Mystère à Monté-Carlo"). Livre qui contient une introduction à la théorie de Gödel et à ces fameux théorèmes.

[pascal16]

Bonjour,
mon internet vient de revenir.
Merci pour cette explication.

Perso je vois ce genre de problèmes comme une série de réactions chimiques où des ions forment des molécules et on enchaîne une suite de réactions chimiques, ce qui autorise des "2X2 donne X".
On cherche donc une série de réactions chimiques qui nous ramènent à la même molécule.

L'écrire avec des chiffres est très trompeur car ici, nul besoin des opération + - * / et d'ailleurs dans le bouquin la première énigme est avec des lettres.
De plus l'énoncé posé tel que mon premier post dans une olympiade niveau collège est trop succin. Si on applique une et une seule fois chaque machine, ça ne marche pas. Une seul fois, non plus (problème de longueur). Il faut donc interpréter et on peut le faire de différentes façons. On a alors l'impression de modifier l'énoncé pour fournir une réponse.

[scarta]

Je plussoie sur la réponse de Ben314 concernant "Le livre qui rend fou", avec une version encore plus compliquée du problème pour ouvrir un coffre fort
Mais aussi la version "robots" de "Quel est le titre de ce livre ?" intuitivement plus simple à comprendre.

[ffback]

Les robots c'est je crois dans "ça y'est je suis fou" (la suite^^)
"Quel est le titre de ce livre" c'est essentiellement à base de gars qui mentent/disent la vérité, et peut être quelques trucs godeliens à la fin.