Exo sur la dérivation, variations, ...

[aCe77]

Bonjour j'ai un petit exercice à faire, pouvez vous m'aider à le finir, svp?
(en italique mes réponses)

A désigne la fonction définie sur R telle que:

A'(x)=2/(1+x²) et A(0)=0

1) Dresser le tableau de variation de la fonction A sur R.
Pour étudier les variation de A, il faut étudier le signe de A', comme A'=2/(1+x²) alors A' est toujours positive, et donc A est toujours croissante sur R ?

2) En déduire son signe sur R, et donc la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
Comme A est toujours croissante et que A(0)=0 alors on a A négative sur ]-oo, 0] et A positive sur [0, +oo[ ? Et donc A est en dessous de l'axe des abscisses sur ]-oo, 0] et au dessus sur [0, +oo[ ?

3) Pour tout x réel on pose: u(x)=A(x)-A(-x)
a) Justifier que u est dérivable sur R et calculer u'(x)
Je ne vois pas comment justifier... Mais u'(x)=A'(x)-A'(-x) donc u'(x)=2/(1+x²) - 2/(1-x²) , mais ce n'est pas la réponse finale...?

b) Démontrer que la fonction u est constante sur R.
Ne sais pas

c) En déduire que la fonction A est impaire.

4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative C de la fonction A à l'origine.

5) Donner la position relative de la courbe C et de sa tangente au point 0.

Merci d'avance

[annick]

bonsoir
pour la troisième question je crois que tu as fait une erreur car A'(-x)=2/(1+(-x)²)=2/(1+x²) donc u'(x)=0 donc u constante.

[annick]

pour la suite, u(0)=0 et u(x) constante donc A(x)=A(-x) ce qui chez moi donnerait plutôt une fonction paire

[aCe77]

Merci pour tes réponses :D

Mais il est dit qu'elle est impaire donc il faudrait prouver que:

A(-x)=-A(x)

J'ai oublié de mettre que pour la question b) il fallait déterminer u.