f désigne une fonction dérivable et strictement positive qui vérifie sur R:
f'=f et f(0)=1
I) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.
on a y-f(0)=f'(0)(x-0)
y-1= 1x soit y=1+x
II) Soit i la fonction définie sur R par:
i:x --> f(x)-x-1
a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur R, et étudier le signe de f(x)-1 sur R
f'=f et f est strictement positive donc f est strictement croissante.
Je ne sais pas comment trouver le signe de f(x)-1 et à partir de là je suis donc bloqué.
b) En déduire que la fonction i admet un minimum au point d'abscisse O.
c) Quelle est la conséquence graphique de cette étude?
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Méthode d'Euler
On note h le pas des itérations pour le calcul des valeurs approchées de f(x) pour x voisin de 0.
III) Montrer que:
f(h)
(1+h)f(0)f(2h)
(1+h)²f(0)f(3h)
(1+h)3 f(0)IV) Montrer que, pour n entier naturel fixé, on a la propriété suivante:
"Si f(nh)
(1+h)nf(0), alors f((n+1)h)(1+h)n+1f(0)"V) On admet que, pour tout entier naturel n:
f(nh)(1+h)nf(0)
et l'on pose h=10-2
Calculer, à l'aide d'un tableur les valeurs approchées de f(nh) pour n entier compris entre 0 et 500 (si un boss en informatique pouvait m'expliquer comment faire ça sous excel ça serait sympa!)
Recommencer pour un pas de h=-10-2
VI) Placer les 1001 points de coordonnées:
M(nh ; f(nh))
dans un repère orthonormé, puis en déduire l'allure de la courbe associée à la fonction f.
Merci d'avance
f(0)(1+h)^3