Groupes et ordre

[lionel52]

Bonjour,

J'ai une petite question en algèbre de base
Si je veux montrer que dans un groupe G, si l'ordre de g et l'ordre de h sont finis et premiers entre eux (notons les a et b) alors l'intersection de <g> et <h> est réduite à 0 est-ce que mon raisonnement fonctionne?

Soit, k, l tel que
Supposons que k est strictement positif quitte à prendre l'inverse de g.
On a donc d'où a divise bk puis par Gauss, a divise k.

Si pgcd(a,k) = 1 alors a = 1 et c'est gagné
Sinon avec d = pgcd(a,k) > 1, on pose k = dk' avec donc k < k' et

On a donc d'où a qui divise à nouveau k'
Comme on construit ainsi une suite strictement décroissante d'entiers naturels k ce qui est absurde.

Donc soit a = 1 et <g> = {1}, soit k = 0 et de même on démontrerait que l = 0 et donc l'intersection de <g> et <h> est {1}

Ca marche comme ça ou alors auriez vous plus simple?

Merci d'avance

[Mimosa]

Bonjour

Ca marche, mais il y a beaucoup plus rapide!

L'intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe de chacun d'eux. Son ordre est un diviseur commun de l'ordre de tes sous-groupes!

[lionel52]

Ok tout simplement ! Merci beaucoup !

[Mimosa]

Avec plaisir.