Calcul de Probabilités : Analyse Combinatoire

[Ford9smith]

Bonjour,

je sollicite votre aide pour des lacunes que j'ai concernant l'analyse combinatoire. Je ne comprend pas la logique quand je refais mes travaux pratiques, j'ai bien les réponses et le développement de calculs mais c'est vraiment la logique que je voudrais acquérir.

Je sais que l'analyse combinatoire sert à calculer le nombre de résultats possibles quand on sélectionne r objets parmi n objets (dans un ensemble fini), que lorsque l'ordre n'est pas important dans le tirage il s'agit de Combinaisons quand c'est important il s'agit d'Arrangements et qu'une EA contient toujours plus d'arrangements que de combinaisons.

Pourtant j'ai des difficultés pour résoudre ces exercices;

"Combien d'anagrammes peut-on former avec le mot <ANAGRAMME> ?"
Pourquoi fait-on 9!/3!2!1! ?
j'ai compris qu'il y a 9 lettres ; 3 A 2 M 1N 1G 1R 1E.
Mais 9!/3!2!1! ne correspond pas au formules de combinaisons ni d'arrangements, je ne sais pas trop d'où ça sort.

"Combien de codes de 3 lettres distinctes peut-on former avec les
lettres du mot <COMPTABLE> (3 voyelles et 6 consonnes) ?"
b) Combien de ces codes contiennent seulement des consonnes ?
c) contiennent exactement deux consonnes ?
d) contiennent exactement une consonne ?
e) contiennent exactement zéro consonne ?
f) commencent et se terminent par une consonne ?
g) commencent par une voyelle ?

Je souhaiterai comprendre la logique pour résoudre ces exos et aussi comprendre ce qu'est "le terme de permutation" parce que ce n'est pas dans mon cours théorique.

Merci d'avance pour votre aide!

[phyelec]

Bonjour,
"Combien d'anagrammes peut-on former avec le mot <ANAGRAMME> ?"
Si toutes les lettres sont différentes : il y a n! anagrammes.
En effet, pour former une anagramme à partir de n lettres, on a n choix pour la première lettre, n−1 choix pour la deuxième et ainsi de suite soit :n x (n-1) x (n-2 )x......x 1=n!
Mais ici il y a des répétitions de lettres. C'est plus compliqué. Par exemple le mot bobo, on a 2 b et 2 o. On peut faire oobb, bboo, obob, boob, obbo et bobo soit en tout 6 possibilités donc très inférieur à 4! = 24. Remarque 6=24/4 . Pour trouver le nombre exacte d'anagramme quand il y a des lettres répétées il faut compter le nombre de fois que chaque lettre est répétée et appliquer la formule suivante :


au passage 1!=1 donc si toutes les lettres ont 1 occurrence, on tombe sur n!

sens du mot permutation : une anagramme d’un mot est une permutation de ses lettres. Permutation signifie que l'on change les lettres de places ( on permute des lettres). L'idée est de réarranger des objets discernables (ici des lettres).

Maintenant essaie de regarder dans ton cours pour faire la suite et dit-nous ce que tu as essayé avec ton raisonnement pour que l'on puisse d'aider.

[Ford9smith]

Bonjour,
merci beaucoup pour votre réponse et les explications que vous m'avez fournies, j'y vois déjà beaucoup plus clair. Voici-ci mon raisonnement;

a)"Combien de codes de 3 lettres distinctes peut-on former avec les
lettres du mot <COMPTABLE> (3 voyelles et 6 consonnes) ?"
Avec la formule d'Arrangement 9! / 6! = 504

b) Combien de ces codes contiennent seulement des consonnes ?
C C C donc 6*5*4 ou avec la formule d'Arrangement 6! / 3! = 120

c) contiennent exactement deux consonnes ?
C C V * terme de permutation donc 6*5*3 * 3! / 2! 1! = 270

d) contiennent exactement une consonne ?
C V V* terme de permutation donc 6*3*2 * 3! / 2! 1! = 108

e) contiennent exactement zéro consonne ?
V V V donc 3*2*1 donc 3! = 6

f) commencent et se terminent par une consonne ?
C V ou C C donc 6*(3+4)*5 = 210

g) commencent par une voyelle ?
Là je ne trouve pas la bonne réponse.

V C ou V C ou V
3*(2+6)*(1+5) ?

V C C ou V V C ou V V V
(3*6*5) + (3*2*6) + (3*2*1) ?



Cordialement.

[phyelec]

Bonjour,

pour le a) Dites moi la formule que vous avez utilisé. faut prendre la formule qui permet de choisir k lettres parmi n. Ici vous avez n lettres distinctes.

[phyelec]

Bonjour,

Je ne suis pas disponible cette après midi et demain pour vous aider.

Voici un site internet pour vous aider : https://www.deleze.name/marcel/culture/ ... index.html
Une fois sur la page, lisez les explications et cliquer sur le lien en bleu pour avoir la formule du cas expliqué.
Je vous encourage vivement à regarder votre cours.

[phyelec]

Bonjour,

Pour le g) vous avez 3 voyelles, donc en premier vous avez la manière de choisir 1 voyelle parmi 3 puis la permutations de toutes les lettres restantes.

[lyceen95]

Toutes les réponses que tu as proposées jusqu'à la 7 sont bonnes. C'est bien.
Pour la 8, tu dis que ça peut être VCC ou VVC ou VVV.
Tu as oublié VCV.
En faisant comme ça, tu vas trouver la bonne réponse.
Fais le calcul, avec toutes les opérations jusqu'à la fin.
Mais le hic de cette solution, c'est que si on est distrait, on oublie un des groupes.
Donc dans ta tête , tu te doutes qu'il y a une autre méthode, plus directe.
En regardant le résultat obtenu, en le factorisant, tu vas peut-être avoir le déclic, tu vas peut-être constater. 'Ah mais oui, le nombre obtenu, c'est x*y*z ... et c'est normal, ... on pouvait deviner qu'on tomberait sur ce x*y*z '

[Ford9smith]

Merci pour vos réponses, je me doutais qu'il y avait une réponse plus intuitive pour la g, je vais y réfléchir.

Merci pour tout!

Cordialement.

[tournesol]

Pour la première question tu comprendras mieux avec
Pour chacun des 9! mots possibles , on peut permuter indépendament les A et les M sans changer l'anagramme .
Donc chaque anagramme est compté 3!X2! fois parmis les 9! mots possibles . D'ou la division par 12 .