Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

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Axeldinh
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Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par Axeldinh » 28 Mai 2020, 11:11

Bonjour,
Pour un code sur Matlab, j'utilise le système ci-dessous pour calculer les coefficients d'une méthode des différences finies. Cependant, pour prouver que la méthode converge, je dois prouver que est borné supérieurement. Sachant que , et que mes expérimentation me donnent les bonnes convergences, je pense qu'il doit être possible de le prouver. Quelqu'un aurait-il une piste sur comment si prendre pour trouver cette borne ? Merci d'avance pour vos réponses.
ps : je ne sais pas d'où viennent ces <br/>... une astuce pour s'en débarasser ?



GaBuZoMeu
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par GaBuZoMeu » 28 Mai 2020, 11:33

Bonjour,
les br/ sont un bug de la compilation LaTeX sur ce forum. Pour les éviter, supprimer les retours à la ligne. et écrire les matrices sur une seule ligne de texte qui sera bien sûr coupée dans la fenêtre d'édition) :

est obtenu par
Code: Tout sélectionner
\large\coloneqq
    \begin{bmatrix}    1 & 1 & \cdots & 1\\\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_s \\\alpha_1^2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_s^2 \\\vdots & \vdots &  & \vdots \\   \alpha_1^{s-1} & \alpha_2^{s-1} & \cdots & \alpha_s^{s-1}    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}   a_1 \\    a_2 \\   a_3 \\ \vdots\\    a_s    \end{bmatrix}=
    \begin{bmatrix}   0 \\    1 \\   0 \\    \vdots \\   0  \end{bmatrix}


Pour ta question : tu peux borner en utilisant les formules de Cramer. Au dénominateur tu as le déterminant de Vandermonde et tu peux majorer la valeur absolue du numérateur, par exemple par la borne de Hadamard sur les déterminants. Ça montre que tu auras une borne élevée si deux des sont très proches.

Axeldinh
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par Axeldinh » 28 Mai 2020, 17:17

Bonjour,
Merci pour ta réponse, je pense avoir trouvé une borne maintenant. Et aussi merci pour l'astuce !

GaBuZoMeu
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par GaBuZoMeu » 28 Mai 2020, 17:49

Et quelle borne as-tu ?

Axeldinh
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par Axeldinh » 01 Juin 2020, 17:20

Désolé, je n'avais pas vu ton message.
J'ai obtenu la borne , où .

Yezu
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par Yezu » 01 Juin 2020, 18:39

Axeldinh a écrit:Bonjour,
[...]
ps : je ne sais pas d'où viennent ces <br/>... une astuce pour s'en débarasser ?
[...]


Salut,

Utilise \cr plutôt que \\.

GaBuZoMeu
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par GaBuZoMeu » 01 Juin 2020, 21:35

J'ai pris une loupe
, où .
Je suis un peu surpris de l'exposant au dénominateur. Tu peux expliquer ?

Axeldinh
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par Axeldinh » 02 Juin 2020, 09:56

Mince, je me suis trompé, en fait j'avais :

Si est la matrice de Vandermonde, par définition de on obtient
.
Et correspond au nombre d'éléments d'une matrice triangulaire supérieure, sans la diagonale. D'où

GaBuZoMeu
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par GaBuZoMeu » 02 Juin 2020, 10:57

Ah, j'aime mieux cet exposant. On peut trouver un minorant du Vandermonde un peu plus fin, correspondant au cas où les sont régulièrement espacés de :



Mais sans doute n'as-tu pas besoin de ce petit plus.

Axeldinh
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par Axeldinh » 02 Juin 2020, 12:12

Malheureusement les ne sont pas uniformèment distribués.
En fait ils correspondent aux noeuds de Legendre-Gauss-Lobatto. Plus précisément si sont les noeuds, pour un je réécris et donc j'ai bien . J'ai vu qu'il est possible de trouver une borne sur , sous certaines conditions ,mais ça me semble trop technique pour ce que je cherche à faire, je vais m'en tenir à ce que j'ai là. Encore merci pour l'aide !

GaBuZoMeu
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Re: Borne supérieure sur système linéaire de Vandermonde

par GaBuZoMeu » 02 Juin 2020, 12:45

Axeldinh a écrit:Malheureusement les ne sont pas uniformèment distribués.

Je ne dis pas qu'ils le sont. Ce que je dis, c'est que le minorant (en fonction de la distance minimale entre deux noeuds) s'obtient dans le cas où les noeuds sont régulièrement espacés. D'accord ? N'est-ce pas clair ?

Par ailleurs, puisque tes noeuds sont les racines de polynômes connus (c'est bien ça ?) tu as une valeur exacte de la valeur absolue du Vandermonde : la racine carrée du discriminant du polynôme en question.

 

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