Extension radicale

[bob21]

Bonjour,

Nous savons que si P est résoluble par radicaux, toute racine de son corps de décomposition sur Q s’exprime à l’aide des 4 opérations et des racines énièmes.
Réciproquement si toutes les racines de la clôture algébrique de Q dans C s’expriment à l’aide des 4 opérations et de racines énièmes, quelle est l'extension R du corps de décomposition de P telle que R soit une extension par radicaux de Q?

Merci d'essayer de m'éclairer sur ce point.

[GaBuZoMeu]

Bonjour

Réciproquement si toutes les racines de la clôture algébrique de Q dans C s’expriment à l’aide des 4 opérations et de racines énièmes, quelle est l'extension R du corps de décomposition de P telle que R soit une extension par radicaux de Q?

Désolé, mais je ne comprends absolument pas cette question. Les nombres algébriques ne s'expriment certainement pas tous "à l’aide des 4 opérations et de racines énièmes".
Et le corps de décomposition d'un polynôme ne s'étend pas en général en une extension résoluble de .
Peux-tu reformuler ta question plus clairement ?

[bob21]

Je sais bien que tous les nombres ne s'expriment pas à l'aide des 4 opérations et des racines énièmes.

Je sais en revanche que si P est u polynôme résoluble par radicaux alors toutes les racines de son corps de décomposition s'expriment à l'aide des 4 opérations et des racines énièmes.

La question que je me pose est la réciproque de la propriété précédente:
Si toutes les racines de son corps de décomposition s’expriment à l'aide des 4 opérations et des racines énièmes, quelle est l'extension radicale de son corps de décomposition autrement dit si je sais qu'il y a une extension radicale cela voudra dire qu'il est résoluble par radicaux

Je ne sais pas formuler plus clairement ma question.

Merci

[GaBuZoMeu]

Si l'équation est résoluble par radicaux, le corps de décomposition lui-même n'est-il pas une extension résoluble du corps de base ???
Franchement, je ne comprends toujours pas ta question.

[bob21]

Bonjour,
En fait, lorsque les racines du corps de décomposition du polynôme s’écrivent à l'aise des 4 opérations et des racines énièmes je cherche juste à exhiber une suite des corps qui définissent l'extension radicale du corps de décomposition sur Q du polynôme. C'est cette suite de corps que je n'arrive pas à trouver.

Or tu prends le problème à l'envers : je sais en effet que si l'équation est résoluble par radicaux, il existe une extension radicale du corps de décomposition, mais ce n'est pas cela que je demande, c'est la réciproque.

[GaBuZoMeu]

Tu es toujours aussi confus dans ton expression, et si je "prends le problème à l'envers", c'est parce que tu as toi-même de grosses difficultés à l'exposer dans le bon sens.
Dois-je comprendre, à la lecture du premier paragraphe du message précédent, que tu cherches à écrire une extension galoisienne résoluble de comme une suite d'extension cycliques ?