Théorie des jeux- Dilemme du Prisonnier- Equilibre de Nash

[jozay96]

Bonjour à tous,

Je ne comprends pas pourquoi dans l’issue (1,1) constitue un EN et non l’issue (4,4).

Permettez-moi de vous expliquer mon raisonnement,
Pour le joueur 1:
- Si le joueur 2 décide de “deny”, sa meilleure réponse est de “confess” car cela équivaut à moins d’années d’emprisonnement. r1(D)=C
- Si le joueur 2 décide de “confess”, sa meilleure réponse est de “confess” car cela équivaut à moins d’années d’emprisonnement. r1(C)=C

Pour le joueur 2:
- Si le joueur 1 décide de “deny”, sa meilleure réponse est de “confess” car cela équivaut à moins d’années d’emprisonnement. r2(D)=C
- Si le joueur 1 décide de “confess”, sa meilleure réponse est de “confess” car cela équivaut à moins d’années d’emprisonnement. r2(C)=C

J’en déduis donc que l’issue de ce jeu devrait être CC à savoir (4,4) car “confess” semble être la meilleure stratégie pour les 2 joueurs, d'ou le dilemme.

Mon professeur me dis que l'issue 1,1 est le seul equilibre de nash mais je pense qu'il s'est bourré sur le fait qu'ici, à l'invers d'autres jeux, faut choisir la plus petite valeur lorsqu'on determine l'equilibre de nash car ca equivaut à moins d'années d'emprisonnement.

Merci d'avance

[jozay96]

Matrice des gains:

https://ibb.co/kmJL8nm

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Comment veux-tu qu'on te réponde ? Tu n'as rien dit sur les données du jeu.
À quoi correspondent exactement les chiffres dans le "tableau de gains" ?

[jozay96]

Je pensais que c'était clair que ce sont les années d'emprisonnement pour les différentes issues, je m'excuse.
D= Deny= Nier
C= Confess= Confesser

[LB2]

Bonjour,

revois la définition d'un équilbre de Nash : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quilibre_de_Nash

Ce jeu est symétrique (les deux joueurs jouent le même rôle).
Pour chacun des joueurs, D est la stratégie dominante : quelque soit le choix du joueur 2, le joueur 1 optimise sa situation en choisissant D. De même par symétrie, quelque soit le choix du joueur 1, le joueur 2 optimise sa situation en choisissant D.

Attention : les joueurs ne coopèrent pas : chacun optimise son propre intérêt, sans vouloir minimiser le total des années d'emprisonnement.

Puisque D est la stratégie dominante pour chacun des joueurs, le seul équilibre de Nash est (D,D).

[GaBuZoMeu]

Toute cette situation ne semble aller de travers. Le cas (1,1) est à la fois un équilibre de Nash et est Pareto-optimal.

Ça ne correspond pas au classique dilemme des prisonniers. Dans ce dilemme, les policiers ont des charges suffisantes pour faire condamner chacun à un an pour un délit. Ils soupçonnent par ailleurs chaque gangster d'un crime valant quatre ans de prison, mais le seul moyen de le faire condamner est que l'autre le dénonce. Ils proposent à chaque gangster un marché : s'il dénonce l'autre, on oubliera son délit et il épargnera une année de prison.
Les peines de prison s'additionnent.
Chaque gangster a intérêt à dénoncer l'autre, quelle que soit l'attitude adoptée par ce dernier : si l'autre le dénonce, il fera 4 ans au lieu de 5, et si l'autre reste silencieux, il sortira libre au lieu de faire 1 an.
L'équilibre de Nash aboutit bien à 4 ans de prison pour chacun.
Ce n'est pas Pareto-optimal, puisque si chacun était resté silencieux, ils auraient à eux deux écopé de 2 ans au lieu de 8.

[LB2]

La définition d'un état Pareto optimal : Une situation est optimale au sens de Pareto si l’on ne peut améliorer la satisfaction d’un individu sans réduire celle d’au moins un autre individu.

ou encore, ce qui revient au même : Un optimum de Pareto est une allocation des ressources pour laquelle il n'existe pas une alternative dans laquelle tous les acteurs seraient dans une meilleure position.

Ici (D,D) correspondant au gain (1,1) est un équilibre de Nash, et un optimum de Pareto.
L'affirmation du document "(D,D) est Pareto dominé par (C,C)" est en effet fausse. C'est l'inverse, ici (C,C) est Pareto dominé par (D,D). En effet, les deux joueurs préfèrent passer de (4,4) à (1,1).

Peut être la matrice des gains est fausse et les cases (1,1) et (4,4) ont été inversées, ce qui correspondrait davantage au dilemme du prisonnier classique.

Il y a plusieurs versions du dilemme du prisonnier, si l'on change la matrice des gains, on peut aboutir à des conclusions différentes (voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Dilemme_du_prisonnier)

[GaBuZoMeu]

LB2, tu as écrit :

Cet exemple hyper classique montre que sans coopération, utiliser des stratégies dominantes, même en information parfaite sur la matrice des gains, n'aboutit pas nécessairement à un état Pareto optimal.

Pourtant, l'exemple tel que présenté par jozay96 ne montre pas ça, justement !!!

[LB2]

LB2, tu as écrit :

Cet exemple hyper classique montre que sans coopération, utiliser des stratégies dominantes, même en information parfaite sur la matrice des gains, n'aboutit pas nécessairement à un état Pareto optimal.

Pourtant, l'exemple tel que présenté par jozay96 ne montre pas ça, justement !!!

Oui effectivement, mon hypothèse est qu'il y a une coquille dans la matrice des gains et qu'il faut lire

(D,D) a pour "gain" (4,4) et (C,C) a pour gain (1,1).

Avec cette nouvelle matrice des gains, qui correspond au dilemme classique de Tucker et que tu as également énoncé, il reste vrai que pour chaque joueur, la stratégie D est dominante.

Le seul équilibre de Nash est donc (D,D) = (4,4) mais qui n'est pas Pareto optimal.

[GaBuZoMeu]

Mais alors ça devient totalement incohérent ...
4 ans de prison chacun s'ils nient leur crime, 1 an s'ils le confessent.
L'histoire que raconte jozay96 ne tient pas debout. Je demande des éclaircissements depuis le début, là on est en plein brouillard.

[LB2]

Pour reprendre la formulation du dilemme de Tucker, j'interprète la stratégie "D" comme "Dénoncer l'autre", et "C" comme "se taire", et on retrouve une matrice des gains similaire (modulo la coquille).

Mais effectivement, l'énoncé semble une refomulation assez bancale du dilemme du prisonnier.

[jozay96]

Mais alors ça devient totalement incohérent ...
4 ans de prison chacun s'ils nient leur crime, 1 an s'ils le confessent. .

Non la matrice montre que si chacun nient ils prennent 1 an et si chacun confesse, 4 ans.

[Mateo_13]

Bonjour,

la vidéo suivante (5 min 30 s) explique bien que la coopération est plus avantageuse pour le groupe,
dans le dilemme du prisonnier : https://youtu.be/bcUos5ueOhY

Cordialement,
--
Mateo.

[LB2]

Mais alors ça devient totalement incohérent ...
4 ans de prison chacun s'ils nient leur crime, 1 an s'ils le confessent. .

Non la matrice montre que si chacun nient ils prennent 1 an et si chacun confesse, 4 ans.

Comme l'a dit GBZM, ton exercice ne correspond pas au dilemme du prisonnier classique, formulé par Tucker en 1950. Dans celui ci, il y a deux stratégies : se taire et dénoncer l'autre. Si chacun se tait, ils prennent tous les deux 6 mois et si chacun dénonce, ils prennent tous les deux 5 ans. Si l'un dénonce et l'autre se tait, celui qui dénonce est libre, celui qui se tait prend 10 ans.

Par ailleurs, comme je l'ai indiqué, l'affirmation "(D,D) est Pareto dominé par (C,C)" est fausse : c'est (C,C) qui est Pareto dominé par (D,D) avec la matrice des gains que tu as donnée, puisqu'on cherche à minimiser le temps d'emprisonnement.

[GaBuZoMeu]

Mais alors ça devient totalement incohérent ...
4 ans de prison chacun s'ils nient leur crime, 1 an s'ils le confessent. .

Non la matrice montre que si chacun nient ils prennent 1 an et si chacun confesse, 4 ans.

N'était-il pas clair que mon message était une réponse à la suggestion de LB2 (échanger (4,4) et (1,1) ??

Une suggestion : vérifie sérieusement ton histoire et ce que dit réellement ton professeur.

[jozay96]

Voici un exemple ressemblant à celui de mon cours qui aboutit à la même conclusion que moi.

https://www.khanacademy.org/economics-f ... quilibrium

[jozay96]

Mais alors ça devient totalement incohérent ...
4 ans de prison chacun s'ils nient leur crime, 1 an s'ils le confessent. .

Non la matrice montre que si chacun nient ils prennent 1 an et si chacun confesse, 4 ans.

N'était-il pas clair que mon message était une réponse à la suggestion de LB2 (échanger (4,4) et (1,1) ??

Une suggestion : vérifie sérieusement ton histoire et ce que dit réellement ton professeur.

Bah non si c'était clair j'aurais pas répondu
Vous avez l'air un peu tendu, chillll.

[GaBuZoMeu]

Josay96, si tu regardais attentivement la vidéo que tu as mise en lien, tu verrais que ça ne correspond pas du tout à ton tableau.
Ça y correspondrait si on intervertit joueurs 1 et 2 dans ton tableau.

Dans le cas de la vidéo, chaque joueur y gagne à "se confesser" (passer de 10 à 3 ou de 2 à 1). Dans ton tableau, c'est le contraire ! (passer de 1 à 5 ou de 0 à 4).

Bon, je n'ai pas l'impression qu'on puisse attendre des éclaircissements de ta part. Mais c'est ton problème, après tout. Bye !

[jozay96]

Et bien t'as tout à fait raison, c'est bien mon problème. Mais svp évitez d'essayer d'aider les gens si vous ne savez pas de quoi vous parlez, si je ne connais pas un sujet je m'abstiens.

Je n'ai pas plus d'informations à donner a part ce qui est marqué noir sur blanc, 2 joueurs, 2 possibilités pour chaque "confess" et "deny" et une matrice de gains qui équivaut aux années d'emprisonnement selon les choix. Ca me semble assez pour determiner quel est l'EN.

De plus, ca sert a quoi exactement d'inverser les joueurs ? C'est une matrice de gains symétrique.
De plus, le tableau des gains est quasi le même entre celui que j'ai mis en ligne et celui de la vidéo. Pour voir cela suffit de regarder les issues.
D,D=1,1 vs D,D=2,2
C,C=4,4 vs C,C=3,3
C,D=0,5 vs C,D=1,10
D,C=5,0 vs D,C=10,1

Années d'emprisonnement certes différentes mais issues exactement les mêmes.

Bref, merci quand même et prenez soin de vous

[LB2]

@jozay96 j'ai l'impression que tu n'as pas lu ma réponse. Elle est pourtant très claire.
(D,D) est un équilibre de Nash.
(C,C) n'en est pas un car si par exemple le joueur 2 sait que le joueur 1 choisit la stratégie C, le joueur 2 va choisir la stratégie D.
Je te laisse en exercice voir pourquoi (C,D) et symétriquement (D,C) ne sont pas non plus des équilibres de Nash.

J'ai l'impression que tu te contentes de survoler le sujet : attention à la confusion entre équilibre de Nash et optimum de Pareto, ce sont deux concepts différents.

De plus, il est assez maladroit d'appeler la matrice des années d'emprisonnement matrice de gain, puisqu'on ne cherche pas à maximiser le temps d'emprisonnement mais à le minimiser. La matrice de gains est l'opposé de la matrice des années.