Sens de variations d'une fonction

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Swaswa
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Sens de variations d'une fonction

par Swaswa » 19 Mai 2020, 21:06

Bonsoir,

J'ai un DM à rendre demain et ça fait 3 jours que je suis sur cet exercice que je ne comprends pas et ça me rend fou.

Si quelqu'un peut m'aider s'il-vous-plaît ?

L'exercice en question ne passe pas en pièce jointe je le copie ici :

Une comète à trajectoire parabolique s’approche de la Terre. On suppose que la distance (en millions de kilomètres) entre la comète et la Terre est une fonction d du temps t donnée par : d(t) = (t – 2)² + 10 où t est le temps (en années) écoulé depuis l’instant 0.

a. Démontrer que la fonction d est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 2], puis strictement croissante sur l’intervalle [2 ; 10].

b. Dresser le tableau de variations de d sur l’intervalle [0 ; 10]. (J'ai réussi !)

c. Quelle est la distance minimale entre cette comète et la Terre ?


PS : Je n'ai pas encore appris la dérivée !
Bonne soirée !



Swaswa
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Re: Sens de variations d'une fonction

par Swaswa » 20 Mai 2020, 01:20

up

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Lostounet
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Re: Sens de variations d'une fonction

par Lostounet » 20 Mai 2020, 10:50

Swaswa a écrit:Bonsoir,

J'ai un DM à rendre demain et ça fait 3 jours que je suis sur cet exercice que je ne comprends pas et ça me rend fou.

Si quelqu'un peut m'aider s'il-vous-plaît ?

L'exercice en question ne passe pas en pièce jointe je le copie ici :

Une comète à trajectoire parabolique s’approche de la Terre. On suppose que la distance (en millions de kilomètres) entre la comète et la Terre est une fonction d du temps t donnée par : d(t) = (t – 2)² + 10 où t est le temps (en années) écoulé depuis l’instant 0.

a. Démontrer que la fonction d est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 2], puis strictement croissante sur l’intervalle [2 ; 10].

b. Dresser le tableau de variations de d sur l’intervalle [0 ; 10]. (J'ai réussi !)

c. Quelle est la distance minimale entre cette comète et la Terre ?


PS : Je n'ai pas encore appris la dérivée !
Bonne soirée !


Salut,
La seule chose à savoir pour la a) c'est que deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés. Je te donne un exemple:

-3 < -1
Mais
(-3)^2>(-1)^2
Car 9>1
Cela se justifie en disant que la fonction carré est décroissante sur ]-infini;0].

Bref, revenons maintenant à ton exercice.
Prenons deux nombres a et b dans l'intervalle [0;2] et tels que a<b.
Tu es d'accord que le but est de montrer que d(a)>d(b) c'est-à-dire que d est décroissante ?

Comme
0< a<b <2
Alors a<b<2
Donc a-2<b-2<0

Or les deux nombres a-2 et b-2 sont négatifs donc ils sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés.

Donc (a-2)^2>(b-2)^2
En ajoutant 10 aux deux membres on obtient:
d(a)>d(b)
Donc d décroissante sur cet intervalle.


Je te laisse essayer maintenant de montrer que d est croissante sur l'autre intervalle
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Black Jack

Re: Sens de variations d'une fonction

par Black Jack » 20 Mai 2020, 10:58

Salut,

c)

d(t) = (t – 2)² + 10

(t-2)² >= 0 puisque c'est un carré et donc la valeur min de d(t) est pour (t-2)=0 --> minimum de d(t) = 10 et il est atteint pour t = 2

La distance minimale entre cette comète et la Terre est de 10 millions de kilomètres (et cela pour t = 2 années)

:-)

Swaswa
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Re: Sens de variations d'une fonction

par Swaswa » 20 Mai 2020, 11:44

Lostounet a écrit:
Swaswa a écrit:Bonsoir,

J'ai un DM à rendre demain et ça fait 3 jours que je suis sur cet exercice que je ne comprends pas et ça me rend fou.

Si quelqu'un peut m'aider s'il-vous-plaît ?

L'exercice en question ne passe pas en pièce jointe je le copie ici :

Une comète à trajectoire parabolique s’approche de la Terre. On suppose que la distance (en millions de kilomètres) entre la comète et la Terre est une fonction d du temps t donnée par : d(t) = (t – 2)² + 10 où t est le temps (en années) écoulé depuis l’instant 0.

a. Démontrer que la fonction d est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 2], puis strictement croissante sur l’intervalle [2 ; 10].

b. Dresser le tableau de variations de d sur l’intervalle [0 ; 10]. (J'ai réussi !)

c. Quelle est la distance minimale entre cette comète et la Terre ?


PS : Je n'ai pas encore appris la dérivée !
Bonne soirée !


Salut,
La seule chose à savoir pour la a) c'est que deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés. Je te donne un exemple:

-3 < -1
Mais
(-3)^2>(-1)^2
Car 9>1
Cela se justifie en disant que la fonction carré est décroissante sur ]-infini;0].

Bref, revenons maintenant à ton exercice.
Prenons deux nombres a et b dans l'intervalle [0;2] et tels que a<b.
Tu es d'accord que le but est de montrer que d(a)>d(b) c'est-à-dire que d est décroissante ?

Comme
0< a<b <2
Alors a<b<2
Donc a-2<b-2<0

Or les deux nombres a-2 et b-2 sont négatifs donc ils sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés.

Donc (a-2)^2>(b-2)^2
En ajoutant 10 aux deux membres on obtient:
d(a)>d(b)
Donc d décroissante sur cet intervalle.


Je te laisse essayer maintenant de montrer que d est croissante sur l'autre intervalle


Salut. Merci pour ta réponse je vais regarder en détail et j'ai l'air de comprendre si je ne comprends toujours pas je reviens vers toi. Merci beaucoup pour ton aide en tout cas. <3

Swaswa
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Re: Sens de variations d'une fonction

par Swaswa » 20 Mai 2020, 11:45

Black Jack a écrit:Salut,

c)

d(t) = (t – 2)² + 10

(t-2)² >= 0 puisque c'est un carré et donc la valeur min de d(t) est pour (t-2)=0 --> minimum de d(t) = 10 et il est atteint pour t = 2

La distance minimale entre cette comète et la Terre est de 10 millions de kilomètres (et cela pour t = 2 années)

:-)


Salut, merci pour ta réponse. ALors il y a un truc que je ne comprends pas. Tu peux séparer la fonction ? J'avoue que le début n'est pas très clair pour moi. Si ça ne te dérange pas de m'expliquer en détail.
En tout cas merci beaucoup pour ton aide ! <3

Black Jack

Re: Sens de variations d'une fonction

par Black Jack » 20 Mai 2020, 12:13

d(t) est la somme de 2 termes, un terme constant positif (10) et un terme qui varie avec t, soit (t-2)²

Ces 2 termes (10 et (t-2)²) sont tous les 2 positifs, leur somme sera la plus petite lorsque le terme variable (soit (t-2)²) sera le plus petit possible.

Or (t-2)² >= 0 , donc la valeur mimimum de (t-2)² est 0

Donc la somme (t-2)² + 10 sera minimum lorsque (t-2)² sera nulle

La somme minimum est donc 0 + 10 = 10 ... qui est obtenue pour (t-2)² = 0, donc pour t = 2

OK ?

Swaswa
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Re: Sens de variations d'une fonction

par Swaswa » 20 Mai 2020, 12:27

Ah ok merci beaucoup tu me sauves la vie <3

Bonne journée

 

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