Base d'une matrice diagonalisable,

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novicemaths
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base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 15 Mai 2020, 21:10

Bonsoir

Soit la matrice ci-dessous

Image

En trouvant , j'ai prouvé que c'est la matrice d'une projection.

Je cherche la base dans laquelle cette matrice est diagonale.

Pourriez-vous m'expliquer ce que je dois faire exactement.

A bientôt



GaBuZoMeu
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par GaBuZoMeu » 15 Mai 2020, 22:21

Bonjour,

Tu es sûr que cette matrice est égale à son carré ?

Est-ce un 5 ou un 6 en bas à gauche ?

novicemaths
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 15 Mai 2020, 22:25

Désolé, ce n'est pas 5, c'est 6.

Image

novicemaths
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 15 Mai 2020, 23:18

En cherchant les valeurs propres, je tombe sur un discriminant négatif.

Est-ce que vous trouvez le même résultat ?


A bientôt.

tournesol
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par tournesol » 16 Mai 2020, 00:05

le polynôme caractéristique est X^2-X =X^2-Tr(A)X+det(A)

novicemaths
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 16 Mai 2020, 19:43

Bonjour

il faut d'abord déterminer les valeur propre, mes premiers calculs sont ci-dessous.

Image

Je trouve

En s'implifiant on a

On a donc comme racines et

Est-ce que mon raisonnement est correcte ?

A bientôt

Carpate
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par Carpate » 16 Mai 2020, 20:14

Ton calcul est correct mais pourquoi t'arrêtes-tu, on te demande la base dans la quelle la matrice est diagonalisable, c'est-à-dire la base formée par les 2 vecteurs propres.

novicemaths
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 16 Mai 2020, 20:23

Je vais doucement, je me méfie de mon raisonnement.

Carpate
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par Carpate » 16 Mai 2020, 20:32

Je vais doucement, je me méfie de mon raisonnement.

Pour l'instant c'est plutôt de l'application stricte du cours ...

novicemaths
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 16 Mai 2020, 22:31

Bonsoir

Je pense avoir fait des bêtises dans le calcul ci-dessous

Image

Si j'ai bien compris, je dois trouver un vecteur x,y.

Mais, là j'ai trouvé que des y.

Pourriez-vous me dire quelle erreur j'ai commis.

A bientôt

Carpate
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par Carpate » 16 Mai 2020, 23:30

Le vecteur propre correspondant à la valeur propre 0 est bien solution de AV=0 soit y=2x donc V =(x;2x ) ou encore (1 ; 2)
Pour la valeur propre 1, V est solution de (A - I)V = 0

novicemaths
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 16 Mai 2020, 23:50

Vous voulez dire (A-1)*V=0 ?

tournesol
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par tournesol » 17 Mai 2020, 00:41

vecteurs propres remarquables associés à la valeur propre 1 : u(1;3/2) et mieux w(2;3)

Carpate
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par Carpate » 17 Mai 2020, 10:16

Peux=tu en conclusion, compléter les ...
A est la matrice exprimée dans la base canonique de la projection d'un vecteur sur la droite vectorielle d'équation ... parallèlement à la droite vectorielle d'équation ...

novicemaths
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 17 Mai 2020, 23:13

Bonsoir

Maintenant, il faut utiliser la formule

J'aimerais poursuivre mais je suis bloqué avec le calcul de l'inverse de la matrice.

Le déterminant est égale à 0, donc la matrice n'est pas inversible.

Dois je utiliser le pivot de gauss ?

A bientôt

Carpate
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par Carpate » 18 Mai 2020, 15:30

Maintenant, il faut utiliser la formule A = P.D.P^{-1}

Il faut , il n'y a pas d'obligation mais je suppose que tu veux calculer qui est égal à
J'aimerais poursuivre mais je suis bloqué avec le calcul de l'inverse de la matrice.
Le déterminant est égale à 0, donc la matrice n'est pas inversible.

De quelle matrice parles-tu ? A n'est pas inversible mais il s'agit ici de l'inverse de la matrice de passage P.
Une matrice de passage d'une base b à b' est toujours inversible car c'est la matrice de l'identité dans les bases b et b'.

L'inverse de P se calcule rapidement "à la main".







Tu poses quand-même des questions qui sont des applications directes du cours.
L'étudies-tu avant de commencer tes exercices ?

novicemaths
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Re: base d'une matrice diagonalisable,

par novicemaths » 19 Juin 2020, 21:20

Bonsoir

Voici ce que j'ai trouvé pour P

Image

A bientôt

 

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