Enigme spé maths

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Emilk3D
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Enigme spé maths

par Emilk3D » 12 Mai 2020, 12:02

Bonjour,

Notre professeur nous propose un exercice d'arithmétique pour le confinement mais je ne vois même pas par où commencer, j'aimerais bien un petit coup de main.

Voici le problème :

L' équation x^2+xy+y^2=2 admet-elle comme solution les couples (x;y) où x et y sont des rationnels ?
Le démontrer.

J'ai cherché l'ensemble de solutions grâce à une calculatrice en ligne et je crois avoir vu que c'était des irrationnels.
Alors, j'ai tenté un raisonnement par l'absurde en ayant comme hypothèse de départ que le couple (x;y) était rationnel en suivant un peu la forme de la démonstration de l'irrationnalité de racine de 3.

Merci en avance !



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anthony_unac
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Re: Enigme spé maths

par anthony_unac » 12 Mai 2020, 12:28

Bonjour,
Vue la tête de l'énoncé, vous devez avoir raison d'envisager un raisonnement par l'absurde.
L'équation ressemble pas mal à celle d'un cercle.

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Ben314
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Re: Enigme spé maths

par Ben314 » 12 Mai 2020, 13:51

Salut,
Si on écrit que et avec (et ) l'équation s'écrit .
Si et sont tout les deux impairs ou bien si l'un des deux est pair et l'autre impair alors la somme est impaire donc ne peut pas être égale à .
Donc, sil y a une solution, c'est avec et pairs : ; avec .
L'équation s'écrit alors soit encore ce qui signifie que est pair donc que est lui aussi pair (s'il était impair, son carré serait aussi impair) : avec .
L'équation s'écrit maintenant soit encore qui est la même que celle de départ et le même raisonnement montre que et sont pairs et qu'en les divisant par 2 on retombe sur la même équation.
Sauf que ça signifie que le de départ est divisible autant de fois que l'on veut par 2 ce qui est évidement impossible (à moins d'avoir mais c'est exclu).
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Emilk3D
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Re: Enigme spé maths

par Emilk3D » 12 Mai 2020, 14:41

Merci beaucoup pour vos réponses !

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anthony_unac
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Re: Enigme spé maths

par anthony_unac » 12 Mai 2020, 16:07

Tu peux également étudier le trinôme du second degré en considérant comme un paramètre :
Si et sont des entiers non nuls, et si une fraction irréductible est racine du polynôme, alors divise et divise . Or donc la racine est un entier qui vaut et qui divise . Autrement dit, ou et dans ces deux cas de figure n'est pas rationnel.

Emilk3D
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Re: Enigme spé maths

par Emilk3D » 12 Mai 2020, 16:27

Je ne vois pas pourquoi a indice n est égal à 1
pouvez vous m'expliquer plus ?

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anthony_unac
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Re: Enigme spé maths

par anthony_unac » 12 Mai 2020, 16:33

représente par convention le coefficient du terme de plus haut degré. En l’occurrence ici c'est car

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Ben314
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Re: Enigme spé maths

par Ben314 » 12 Mai 2020, 16:55

anthony_unac a écrit:Tu peux également étudier le trinôme du second degré en considérant comme un paramètre :
Si et sont des entiers non nuls, et si une fraction irréductible est racine du polynôme, alors divise et divise .
Ca, c'est du n'importe quoi complet et absolu : pour que ce soit valable, il faudrait évidement que les coefficients du polynôme soient des entiers or il n'y a aucune raison que (le coeff. en x)
et (le coeff. constant) le soient.
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Re: Enigme spé maths

par Ben314 » 12 Mai 2020, 17:00

anthony_unac a écrit:Or donc la racine est un entier qui vaut et qui divise . Autrement dit, ou et dans ces deux cas de figure n'est pas rationnel.
Et ça c'est encore pire : si tu considère (comme tu le fait) que le terme "divisible" peut s'appliquer à des non entiers comme alors tu ne risque pas de déduire quoi que ce soit du fait que divise .

Supposons qu'un entier naturel divise 14 (donc est égal à 1,2,7 ou 14).
Tu peut me dire à quoi ça peut servir d'écrire que divise ?
Parce qu'avec le type de raisonnement que tu tient, ben si je comprend bien, ça permet de montrer que l'entier 14 n'admet aucun diviseurs entier.
Étonnant, non ? (comme dirait monsieur Cyclopède)
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anthony_unac
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Re: Enigme spé maths

par anthony_unac » 12 Mai 2020, 17:24

Ben314 a écrit: pour que ce soit valable, il faudrait évidement que les coefficients du polynôme soient des entiers or il n'y a aucune raison que (le coeff. en x)
et (le coeff. constant) le soient.


C'est précisément le but de la manœuvre, supposer que est entier pour conclure à l’irrationalité de .

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anthony_unac
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Re: Enigme spé maths

par anthony_unac » 12 Mai 2020, 17:28

Ben314 a écrit:Supposons qu'un entier naturel divise 14 (donc est égal à 1,2,7 ou 14).
Tu peut me dire à quoi ça peut servir d'écrire que divise ?
Parce qu'avec le type de raisonnement que tu tient, ben si je comprend bien, ça permet de montrer que l'entier 14 n'admet aucun diviseurs entier.


Ce point là en revanche est problématique effectivement.

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Re: Enigme spé maths

par Ben314 » 12 Mai 2020, 20:54

anthony_unac a écrit:C'est précisément le but de la manœuvre, supposer que est entier pour conclure à l’irrationalité de .
Sauf que ce qu'il faut montrer, c'est qu'il n'y pas de solution avec x et y rationnels . . .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

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