Isotrope/ écriture canonique

[CorentinD]

Bonjour,

Dans un exercice en algèbre, j'ai des notions que je ne comprends pas bien.

Exercice : E=Rn[X] . On dit qu'un polynôme est pair si son écriture canonique ne comporte que des puissances paires et E^+ = sous-espace des polynômes pairs. On pose b(f,g)=
On note q la forme quadratique associée.

1/Déterminer les polynômes q-isotrope de degré 1.

Je n'ai jamais vu ce terme, est-ce que cela revient à chercher le cône isotrope I(q) ?
Cela voudrait dire que je cherche f(x)f(-x) = 0 ?

2/ Montrer que la restriction de b à E^+ est une forme définie positive.

Mais là aussi, je ne comprends pas le terme "écriture canonique" est par exemple si le polynôme P est de degré 2 son écriture P(X)=ax^2+bx+c et donc ce polynôme n'est pas pair ?

Je vous en remercie d'avance !

Cordialement,
Corentin

[GaBuZoMeu]

Un élément isotrope pour la forme quadratique q est un élément v tel que q(v)=0. L'ensemble des éléments isotropes est le cône isotrope.
Et non, un élément isotrope pour la forme quadratique de l'exercice n'est pas ce que tu écris. Relis la définition de la forme bilinéaire symétrique (qui donne la forme quadratique) !

L'écriture canonique est l'écriture sous la forme . Par exemple, n'est pas sous forme canonique. Et est pair si et seulement si .

[CorentinD]

Un élément isotrope pour la forme quadratique q est un élément v tel que q(v)=0. L'ensemble des éléments isotropes est le cône isotrope.

D'accord, cela veut dire que pour moi le "v" c'est les polynômes de degré 1 donc f(x)=ax+b

Or

la définition de la forme bilinéaire symétrique (qui donne la forme quadratique)

Donne : pour tout x appartenant à E, b(x,x)=q(x)

Dans mon exercice, b(f,f)= q(f) =

Ici f(x)= ax+b

Donc q(f)=0 équivaut à
Donc

Je pense que je dois me tromper ...

2.

L'écriture canonique est l'écriture sous la forme . Par exemple, n'est pas sous forme canonique. Et est pair si et seulement si

D'accord c'est clair maintenant, merci

[GaBuZoMeu]

Je pense que je dois me tromper ...

Pourquoi ?

[CorentinD]

Parce que je comprends pas comment on peut résoudre ça :

équivaut donc

Ou autrement faire une faire une IPP ...

[GaBuZoMeu]

Oh ! Tu ne vas pas me dire que tu ne sais pas calculer cette intégrale assez évidente ?

[CorentinD]

Ah oui !

Si je m'occupe seulement de l'intégrale dans un premier temps , j'ai que :
\int_{-1}^{1}{-a^2x^2+b^2 dx} donc après des calcules j'arrive à :



Donc maintenant je résous,
Donc b^2 =(1/3)a^2
C'est à dire b= (1/3)a^2 ou b=-(1/3)a^2

Donc les polynômes q-isotropes de degré 1 sont de la forme : ax+(1/3)a^2 ou ax-(1/3)a^2

Je pense que maintenant c'est correct ...

[GaBuZoMeu]

b^2 =(1/3)a^2
C'est à dire b= (1/3)a^2 ou b=-(1/3)a^2

Euh... fais attention !

[CorentinD]

Excusez-moi !!!

b= 1/(racine(3))*a ou b= -1/(racine(3))*a

[LauraLe]

Bonjour à vous !

Je me permets de rebondir sur cet exercice.

Si je note E^- le sous-espace des polynômes impairs. Est-ce qu'on peut dire que E^- est inclus dans (E^+) ^orthogonale ?

[GaBuZoMeu]

On peut même dire que c'est l'orthogonal.
Mais dire ne suffit pas, il faut prouver.
C'est peut-être une des questions de l'exercice de CorentinD.

[CorentinD]

Si je note E^- le sous-espace des polynômes impairs. Est-ce qu'on peut dire que E^- est inclus dans (E^+) ^orthogonale ?

Vous avez deviné la suite !

Je n'ai pas encore fini cette question mais j'ai commencé par dire que :
(E^+)^orthogonale = {g appartenant à E | g orthogonale f, pour tout f appartenant à E^+}

Or si g appartient à E^- (inclu dans E) alors je vais montrer que g est orthogonale à f qui appartient à E^+
Donc g est de la forme avec pour i un pas de et f est de la forme avec pour i un pas de

Mais après pour montrer l'orthogonalité je ne sais pas comment procéder ...

Et peut-être même que ma méthode est fausse !

[GaBuZoMeu]

Il serait peut-être commode de réaliser qu'un polynôme est pair si et seulement si, pour tout , et qu'il est impair si et seulement si, pour tout , .

[CorentinD]

Il serait peut-être commode de réaliser qu'un polynôme est pair si et seulement si, pour tout , et qu'il est impair si et seulement si, pour tout , .

Exacte !
Donc finalement montrer que g est orthogonale à f revient à montrer que b(f,g) = 0
or

[GaBuZoMeu]

Et ensuite ?

[CorentinD]

Comme on sait que g est impair, on a :
donc mais après comment intégrer f et g sachant qu'on ne sait pas leur degré ?

[GaBuZoMeu]

Si est pair et impair, que peux-tu dire de ? Si tu réponds à cette question, tu devrais avoir la valeur de l'intégrale sans effort.

[CorentinD]

Ah oui alors est impair et donc intégrale de -1 à 1 d'une fonction impaire est égale à 0 !

Donc on vient de montrer que g(impair) et f(pair) sont orthogonaux
Donc pour tout g appartenant àet f appartenant à : E^- inclus dans (E^+)^orthogonale

[GaBuZoMeu]

La formulation de ta dernière phrase est un peu bizarre.
Mais OK, on a l'inclusion.
Reste à montrer l'égalité.
Est-ce qu'on t'a fait démontrer dans l'exercice que b est non dégénéréee ?

[CorentinD]

La formulation de ta dernière phrase est un peu bizarre.

Je m'explique, pour prouver l'inclusion, j'ai dit que :
(E^+)^orthogonale = {g appartenant à E | g orthogonale f, pour tout f appartenant à E^+}

Donc prouver l'inclusion revient à montrer que : pour tout g appartenant à (inclu dans E), g est orthogonale à f , pour tout f appartenant à .

Après peut-être que cela ne suffit pas ...

Reste à montrer l'égalité.

On me demande juste l'inclusion

Par contre, on me demande aussi de déduire que E est la somme directe orthogonale de et .
Je dois montrer donc 3 choses : 1/ ,2/ et 3/ orthogonale à

Le 3/ on vient de le montrer, le 2/ le seul polynôme pair et impair est le polynômes nul (les autres sont soit pair, impair ou ni l'un ni l'autre) et 1/ je ne sais pas trop ... je pensais faire avec les dim: E=dim(Rn[X])=n+1

Est-ce qu'on t'a fait démontrer dans l'exercice que b est non dégénéréee ?

Cela on me le demande. On me demande que q est une forme quadratique dégénéré. J'ai procédé de cette manière :
q non dégénéré signifie : N(q)={0}

En particulier, pour donc donc
D'où, équivaut à d'où N(q)={0}