Loi à densité/exponentielle

[kevincpl]

Bonjour à tous , j'ai besoin de votre aide pour un exercice de maths avec lequel j'ai des difficultés :

La durée de vie , en années , d'un atome radioactif est modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre lambda.
La demi-vie de cet élément est le nombre réel t1/2 qui vérifie P(T<t1/2)=P(T>t1/2)=0.5.
Pour le plutonium 239 , la demi vie est égale à 86.41 ans. On arrondira les résultats à 10^-4

a) Calculer le paramètre lambda dans le cas du plutonium 239

b)Calculer la probabilité qu'un atome de plutonium 239 se désintègre avant 50ans

c) Sachant que l'atome du plutonium 239 n'est pas désintégré après 90 a,s , calculer la probabilité qu'il ne soit pas désintégré après 150 ans

d) Déterminer le nombre t tel que P(T<t)=0.9
Arrondir à l'unité et interpréter le résultat.

Merci d'avance de vos réponses et de votre aide
bon confinement à tous

[franck82]

a) d'après l'énoncé, on a : P(T>86,41)=0,5 soit, exp(-lambda*86,41)=0,5
-lambda*86,41=ln(0,5)
lambda=-ln(0,5)/86,41
lambda=~8,021*10^-3
=~8*10^-3 à 10^-4 près

b) P(T<50)=P(0<T<50)=exp(-8*10^-3*0)-exp(-8*10^-3*50)
=~0,3297

c) la probabilité demandée est P de (T>150) sachant que T>90 qui est, selon la loi de durée de vie sans vieillissement (propre à la loi exponentielle, voir cours), égale à P de (T>90+60) sachant que T>90 égale à
P(T>60)=exp(-8*10^-3*60)=~0,6188

d) P(T<t)=0,9 equivaut à P(0<T<t)=0,9
1-exp(-8*10^-3*t)=0,9
exp(-8*10^-3*t)=0,1
-8*10^-3*t=ln(0,1)
t=ln(0,1)/-8*10^-3
t=~287,8231=288 arrondi à l'unité
cela signifie qu'il y a 90% de chance pour que l'atome de plutonium 239 se désintègre AVANT 288 ans

[kevincpl]

Merci beaucoup de votre aide , bon dimanche a vous
Cordialement