Différentielles

[Camélidé]

Bonjour à tous,

Je travaille actuellement sur un papier de recherche d'économie publique. L'auteur effectue une déduction mathématique que je ne comprend pas ou en tout dont je ne connais pas la mécanique. C'est pourquoi je viens solliciter votre aide !

L'auteur considère donc une fonction
Avec et , il remplace dans U tel que :


Et là vient mon incompréhension, il finit par conclure qu'on différenciant par G et en résolvant on obtient :


En prenant un raisonnement qu'il fait plus tard dans le papier, j'en déduis qu'entre ces 2 étapes il en arrive, en différenciant et en réarrangeant, à :


Ma question est donc la suivante : est-ce qu'il existe un mécanisme qui nous permet de passer du terme précédent à :
?

Merci pour vos réponses !

[GaBuZoMeu]

Ce que tu racontes du texte n'est pas trop précis.
Ce que j'en comprends :
1°) d'une part on a une fonction de trois variables et on fait un changement de variables linéaire avec nouvelles variables , donné par :



2°) D'autre part l'auteur obtient en fonction de et . Ce que tu ne nous dis pas, mais qui doit, je suppose, figurer dans le texte, c'est qu'on obtient ça en fixant la valeur de . Ai-je raison ? Le théorème des fonctions implicites permet alors, si les hypothèses de ce théorème sont remplies, de "résoudre" localement l'équation constante en ayant comme fonction de et .

Encore une fois il s'agit de suppositions à partir de ce que tu écris, qui n'est pas assez précis.

[Camélidé]

Oui c'est exactement ça! Effectivement, j'ai conscience que ma question et les informations n'étaient pas assez précises ni complètes.
J'ai effectivement oublié de mentionner que le problème était considéré dans un cadre de maximisation de la fonction U et qu'elle était strictement quasi-concave. Je suppose que cela rempli la condition de fixation de la valeur de U ?

Pour le reste, l'auteur est assez vague sur la manière dont il est arrivé à ce résultat.

[GaBuZoMeu]

Hum ... justement si on se place là où U est maximum, on n'est typiquement pas en situation d'appliquer le théorème des fonctions implicites.
Désolé, c'est vraiment trop imprécis pour que je puisse dire quelque chose de pertinent.

[Camélidé]

Je m'excuse d'être imprécis, je n'ai suivi qu'une formation limitée en mathématique et l'auteur est lui-même très vague dans ses calculs et résultats. De ce que je comprend, l'auteur considère le problème de maximisation de la fonction U. Il dérive donc la fonction par rapport G et nous dit que la condition de premier ordre donne :


J'en déduis qu'il est parti de

Avec

Comme on obtient ce qu'il nous donne pour la condition de 1er ordre.

Ma question est donc : est-ce que cela est mathématiquement possible, sans hypothèses ou conditions supplémentaires ? Et enfin est-ce qu'on peut passer de :

à

en imaginant des conditions ou hypothèses que l'auteur aurait omis de citer ?

[GaBuZoMeu]

Avec le peu d'informations que tu donnes (qui sont toutes ces variables, par exemple ?), il m'est impossible de donner un sens à ce que tu écris.
Tu mélanges allègrement les droits et les rond.
Il est possible que tu partes d'un texte obscur. Mais en donnant des bribes d'information sur un texte obscur, comment veux-tu qu'on s'y retrouve ?
Déjà, si on veut mettre un peu d'ordre, il vaudrait mieux renommer les fonctions.
D'après ce que tu dis, on a une fonction de . Puis on a une fonction des variables définie par . Bon.
On a (dérivation des fonctions composées).
En un maximum de (qui est aussi un maximum de , on a donc . Oui, très bien, mais ça nous fait une belle jambe vu qu'en un maximum de , ses dérivées partielles sont toutes nulles !
Je mets les pouces.