Combien d'entiers consécutifs

[anthony_unac]

Bonjour,

Combien d'entiers consécutifs faut il au minimum pour qu'il y en ait toujours un dont la somme des chiffres est divisible par 11 ?

[mathelot]

bonsoir,
à partir de 1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

il faut plus de 28 entiers successifs

[anthony_unac]

Effectivement, il en faut plus de 28 mais combien exactement au minimum ?

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, les suites les plus longue sans aucun entier dont la somme des chiffre est divisible par 11 sont de longueur 38 et c'est par exemple le cas pour la suite de 999 981 à 1 000 018.
Donc si on prend 39 entiers successifs alors l'un d'eux aura forcément la somme de ces chiffres divisible par 11.

On obtient le résultat en constatant que le passage à l'entier suivant fait augmenter le somme des chiffres modulo 11 de :
+1 si le dernier chiffre est différent de 9. Donc sur 10 nombres successifs de dernier chiffre de 0 à 9, on a dix résidus successifs modulo 11 et si on ne veut pas avoir de résidu nul il faut que ces dix résidus soient 1,2,...,10.
+ 3 si les deux dernier chiffres sont ?9 avec ? différent de 9
+ (2k+1) si les derniers chiffres sont ?99...99 avec k chiffres 9 et le chiffre ? différent de 9. Et dans ce cas, on peut faire du +2 modulo 11 (donc passer de 10 à 1 en sautant le 0) à condition que k soit congru à 6 modulo 11.

[anthony_unac]

Bien joué Ben314 !