Bonjour !
Je voulais vous remercier pour vos réponses, et faire un petit bilan de ma réflexion.
Mon but au départ était de partir de cette définition :
Pour démontrer (entre autre) cette caractérisation :
Je crois que je m'en suis sorti :
Tout d'abord il faut voir que l'ensemble de départ doit être considré comme un sous-ensemble de .
Ainsi, dire que est non majoré reviens à dire que .
On peut donc chercher une limite en , qui est adhérent à l'espace de départ.
Il faut aussi considérer l'ensemble d'arrivée comme un sous-ensemble de . Ainsi, est adhérent à l'ensemble d'arrivée.
Enfin, dans , une base de voisinage de est composée des intervalles de la forme .
Donc écrire :
est équivalent à
Si x est supposé réel, cela est même équivalent à :
(ce qui pourrait se traduire "quand x est au voisinage de , ou "pour x assez grand, ... x ...", on voit à quel point des phrases anodines sont pleines de sous-entendus).
C'est pourquoi certains ouvrages se permettent de dire que dans , les voisinages de sont les intervalles de la forme , ce qui m'a toujours laissé dans une très très grande perplexité. : l'expression "quand x est au voisinage de " perd tout son sens ...
Bilan :
1) Ce ne sont pas des voisinages de dans mais des traces sur de voisinages de dans
2) Ce ne sont pas "les voisinages" de mais une base parmi d'autres de voisinage de
Moralité : Il est évident qu'au lycée/en L1 on est obligé de simplifier et de vulgariser, et de donner des définitions incomplètes qui sont en réalité des conséquences de définitions plus générales.
Cependant, quand on arrive en L2/L3 et qu'on a les définitions générales, faire le lien avec les définitions du lycée peut s'avérer particulièrement difficile. Ça parait pourtant indispensable.
Le jour où j'ai compris que mettre des inégalités strictes ou large quand on parlait de limites revenait à choisir son système fondamental de voisinage : boules ouvertes ou fermées, ça m'a tellement éclairé !
Bref, plus de questions votre honneur, merci à tous les deux et à bientôt