Maths terminale S

[Farah2002]

Bonjour je suis élève en terminale S, et je m'entraîne sur un exercice. Seulement je n'arrive pas à le terminer donc si quelqu'un pourrait m'aider ce serait sympa.
1.Le directeur d’un camping vient de s’équiper d’un distributeur de glaces à l’italienne.
La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l’italienne est modélisée par une variable aléatoire X
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif.
On rappelle que la fonction f de densité de la loi exponentielle est donnée sur [0 ; +∞[ par f(x) = λe−λx
.
Le vendeur de l’appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c’est-à-dire
l’espérance mathématique de X, est de 10 mois.
a.Justifier que λ = 0,1.
b.Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
(Vous calculerez cette probabilité à l’aide d’une une intégrale.)
c.Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu’il n’en connaisse
aucune jusqu’à la fin de la première année? Justifier.
d.Le directeur du camping remplacera son distributeur de glaces à l’italienne au bout d’un temps t, exprimé en mois, qui vérifie que la
probabilité de l’évènement (X > t) est égale à 0,05.
Déterminer la valeur de t arrondie à l’entier.
2.Le temps d’attente, en secondes, d’un client du camping pour se faire servir une glace définit une variable aléatoire T qui suit la loi
uniforme sur l’intervalle [10 ; 90].
a.Donner l’expression de la fonction g de densité de la loi de T.
b.Quel est le temps d’attente moyen d’un client ?
c.Calculer la probabilité qu’un client attende plus d’une minute.
3.M. Ducornet, un client du camping y séjournant 16 jours, vient tous les jours acheter une glace à l’italienne.
Le nombre de jours où son attente est supérieur à une minute définit une variable aléatoire Y.
On suppose que le temps d’attente de M. Ducornet est indépendant d’un jour à l’autre.
a.Quelle est la loi suivie par Y ? Déterminer E(Y).
b.Calculer la probabilité que M. Ducornet, n’attende jamais plus d’une minute pendant toute la durée de son séjour.
c.Calculer P(Y ≤ 5).
Je suis arrivé à la question 3 et je bloque, merci d'avance

[Rdvn]

Bonjour
Posons p=P(T>60), calculé à la question précédente (temps d'attente supérieur à 1 minute).
Compte tenu des précisions apportées par l'énoncé, vous pouvez montrer que Y suit une loi binomiale
de paramètres p et n=16.
Tout le reste s'en déduit
Bon courage

[Farah2002]

a)Donc Y suit la loi binomiale, et on on pose E(Y)=np <=>E(Y)=16x0,375=6
b) je ne vois pas du tout qu’elle formule utiliser, faut il utiliser P(X=k)?
c) avec la calculatrice je trouve environ 0,407

[Rdvn]

a) il faut justifier "loi binomiale" comme c'est fait dans votre cours.
Une remarque : ce n'est pas "on pose" , cela ne dépend pas d'un choix de notre part :
Y suit une loi binomiale de paramètres n=16 et p = 0,375 donc E(Y) =16x0,375=6
b) Oui, l'événement "M.Ducornet n'attend jamais plus d'une minute" est l'événement (Y=0) puisque
Y prend pour valeur le nombre de fois où il attend plus d'une minute.
c) à suivre, je dois relancer mon vieux programme avec DosBox
(je n'ai pas envie de le faire à la calculatrice)
Revenez avec le résultat du b, puis je confirmerai
Bon courage

[Farah2002]

b) avec la fonction P(X=K) =(nk)×pk×(1−p)n−k, donc je remplace les k par 0 et n par 16 et p par 0,375 et je trouve 5,4x10^(-4)

[Rdvn]

b) C'est la bonne réponse, et le bon procédé, mais écrivez votre formule en fonction de k seulement
( k entier , 0<ou=k<ou=16) :
P(Y=k) = (16 k).(0,375)^k.(0,625)^(16-k)
sur votre copie :
(16 k) en colonne, k et 16-k en exposants.

c) bon résultat, justifiez le davantage, là ça fait trop "calculatrice" :
P(Y<ou=5)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)
(propriété vue en cours , pour X de loi binomiale)
Puis il me semble qu'avec la formule de P(Y=k) ci dessus , on a une justification suffisante pour passer
au résultat de la calculatrice
Revenez vers le forum si vous avez encore un doute, bon courage

[Rdvn]

PS l'éditeur du forum a collé 16 et k que j'avais séparé par des espaces,
ce n'est pas 16k :
colonne 16 en haut et k en bas : coefficient binomial

[Farah2002]

Merci beaucoup