DM de maths (matrice, diagonalisation)

[julie0407]

Bonjour tout le monde !

J'ai un exercice à rendre sur la diagonalisation d'une matrice 2x2. On me demande de montrer que :
A: est diagonalisable.

Je commence par modifier la matrice : A=

Après je sais qu'il faut commencer par calculer son polynôme caractéristique :
Xi(A) =
puis Δ=

Mais je vois pas comment faire après...

Merci de votre réponse !

[GaBuZoMeu]

Ton énoncé ne doit pas être vraiment tel que tu le dis. Peux-tu donner l'énoncé exact ?

[julie0407]

Voici l'énoncé : Soient a,b,c des nombres r´eels quelconques. Montrer que la matrice A est diagonalisable.

[Sa Majesté]

Donc ça fait

[julie0407]

Effectivement (^^") Merci !

[GaBuZoMeu]

OK. Le "réel" est important.

[julie0407]

Bonjour, J'ai calculé les racines (je trouve x1 = a+c et x2 = b-c) cependant quand je remplace X par le x1 puis x2, je ne trouve pas l'équation égale à 0.

Si vous pourriez m'aider !

Merci !

[GaBuZoMeu]

Les racines de quoi ??

Tu as ton polynôme caractéristique, tu en as calculé le discriminant.
Quand est-ce que le polynôme caractéristique a deux racines réelles distinctes ? Que peut-on dire alors de la diagonalisabilité de la matrice ?
Quand-est-ce que le polynôme caractéristique a deux racines réelles confondues ? Que se passe-t-il alors pour la matrice ?
Le polynôme caractéristique peut-il avoir des racines complexes conjuguées non réelles ?

[julie0407]

Le polynôme a 2 racines distinctes lorsque delta est supérieur à 0, possède une racine confondu lorsque delta est égal à 0 et a des racines complexes quand delta est inférieur à 0.

Quand le polynôme possède 2 racines, la matrice est alors diagonalisable ? et que si le polynôme possède en possède qu'une seule (confondue) elle ne l'est pas ?

[GaBuZoMeu]

Qu'as-tu dans ton cours comme condition suffisante de diagonalisabilité ?
Que sont les racines du polynôme caractéristique ? Pourquoi les cherches-tu ?

[julie0407]

Les conditions pour que A soit diagonalisable sont :
-que la dim(A) soit égale au nombre de racine
-que sur la diagonale de D, on retrouve les racines avec des 0 autour

Je recherche les racines pour pouvoir trouver les vecteurs propres de A puis exprimer P, et D tel que D= AP

[GaBuZoMeu]

Je te conseille de revoir la formulation pour la diagonalisabilité.

N'as-tu pas un résultat qui dit que si A (de taille n) a n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable (condition suffisante de diagonalisabilité) ?

[julie0407]

La taille de A n'est-elle pas égale à sa dimension ?

[GaBuZoMeu]

Je préfère ne pas parler de dimension pour une matrice, vu que le terme dimension en algèbre linéaire est employé pour les espaces et sous-espaces vectoriels. Mais c'est un détail. Je répète ma question : as-tu oui ou non ce résultat dans ton cours ?

[julie0407]

Oui

[GaBuZoMeu]

Eh bien applique-le ici et réponds à mes questions :

Quand est-ce que le polynôme caractéristique a deux racines réelles distinctes ? Que peut-on dire alors de la diagonalisabilité de la matrice ?
Quand-est-ce que le polynôme caractéristique a deux racines réelles confondues ? Que se passe-t-il alors pour la matrice ?
Le polynôme caractéristique peut-il avoir des racines complexes conjuguées non réelles ?

J'attends des réponses qui parlent de a,b,c.

[julie0407]

J'ai eu des indications par mon prof de maths, merci de votre aide.