Loi normale multivariée (simple)

[joce]

Bonjour,

J'aurais besoin que quelqu'un confirme deux choses très simples sur les lois normales multivariées.

1. Si V=t(X,Y) est un vecteur gaussien suivant N(mu, sigma) avec mu = et sigma = , cela veut-il bien dire que X et Y suivent des lois normales centrées réduites avec Cov(X,Y)=1/2 ?

2. Pour A une matrice carrée (sans doute définie positive sinon pas de sens), que signifie A^(-1/2) ? Cette notion n'a t elle de sens que lorsque la matrice est définie positive, et faut-il donc repasser à la forme PDP^-1 puis calculer D^-1/2 ?

D'avance merci !

[phyelec]

Bonjour,

Question 1) oui.
Question 2) une matrice définie positive est une matrice dont toutes les valeurs propres sont positives. La racine carrée d’une matrice symétrique réelle est unique. et oui il faut calculer la matrice de passage et les valeurs propres.

[joce]

merci pour ta réponse

[GaBuZoMeu]

Il n'y a pas forcément besoin de diagonaliser pour calculer la racine carrée d'une matrice symétrique réelle définie positive (de même qu'il n'y a pas besoin de diagonaliser pour calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable).
Si on a factorisé le polynôme minimal, c'est tout bon (et il faut de toutes façons le faire pour diagonaliser). On peut alors facilement calculer les projecteurs spectraux.