Exo llg seconde

[GaBuZoMeu]

Cela démontre qu'il y en a au moins un, ce qui était la question posée. Non ?

[lyceen95]

On démontre un truc qui est en effet presque évident. ....mais tout est dans le presque.

Imaginons, on a notre plan infini avec presque tout rouge, et quelques disques bleus par endroits.
Tracer un triangle équilatéral avec 3 sommets tous les 3 bleus, c'est facile, on a un disque bleu, on prend un petit triangle dans ce disque, et c'est réglé. Ici, non seulement les 3 sommets sont bleus, mais le triangle tout entier est bleu. C'est beaucoup plus fort que ce qu'on demande.
Et on est même capable de tracer un triangle avec les 3 sommets rouges.

Si le plan est colorié ainsi, avec des taches bleues et des taches rouges, ça saute aux yeux qu'il y a une infinité de solutions.

Du coup, on va envisager des coloriages plus vicieux. Des coloriages qui ont un sens du point de vue mathématique, mais impossible à réaliser avec un pinceau.
Notre plan, on le munit d'un repère (x,y), et on va dire par exemple :
- pour un point (x,y), si x et y sont tous les 2 des nombres rationnels, on peint ce point en rouge, et si x ou y est irrationnel, alors on peint ce point en bleu. Je pense que tu connais la définition des nombres rationnels /irrationnels.

Concrètement, sur une portion de 1mmx1mm, il va y avoir une infinité de points de chacune des 2 couleurs. Impossible à dessiner. Mais l'exercice reste valide. Peut on trouver 3 points de la même couleur qu forment un triangle équilatéral ?
Le raisonnement assez simple que tu as fait prouve que oui, on peut trouver un triangle équilatéral avec 3 points de la même couleur.

Sauf erreur de ma part, avec le découpage que je propose ( un point est bleu si ses 2 coordonnées sont rationnelles, et rouge sinon), on ne pourra former aucun triangle équilatéral avec les 3 sommets bleus, par contre, on pourra en former avec les 3 sommets rouges, puis qu'on vient de démontrer que au moins une des 2 couleurs permet de former un triangle équilatéral (et même une infinité de triangles équilatéraux !)

[pierrelouisbourgeois]

Merci @lyceen95 pour cet exemple!
Dans l'exercice les pts bleus et rouges sont choisis arbitrairement. Mais qu'est-ce que cela signifie vraiment? Si je choisis qu'il y ait un pôle gauche rouge et un pôle droit, bleu, et bien il est évident qu'il y a une infinité de triangles équilatéraux monochromes soit rouges, soit bleus... Tu parlais de découpage, est-ce que "arbitrairement" signifie que je découpe le plan comme je le souhaite? Si c'est le cas la démonstration pourrait être vite faite...

[nodgim]

Petite précision : le plan n'a nul besoin d'être infini pour trouver un triangle monochrome. Et même pour en trouver une infinité.

[pierrelouisbourgeois]

Petite précision : le plan n'a nul besoin d'être infini pour trouver un triangle monochrome. Et même pour en trouver une infinité.

Oui, il peut y avoir une infinité de points même dans une surface finie. Cela vient-il du fait que les points sont infiniment petits ?

[nodgim]

En fait, tu ne peux pas parler de taille pour un point. Et parler de couleur de point est une vue de l'esprit. Tu auras tout le temps d'étudier ces questions plus tard, elles sont très délicates.

[pierrelouisbourgeois]

En fait, tu ne peux pas parler de taille pour un point. Et parler de couleur de point est une vue de l'esprit. Tu auras tout le temps d'étudier ces questions plus tard, elles sont très délicates.

Très délicates sans doute mais très intéressantes également! Y-a-t-il une branche des mathématiques qui traite ce genre questions? C'est presque de la philosophie je trouve.