Intégrale récalcitrante

[BenoîtL-21]

Je cherche à calculer l'intégrale de 0 à 1 de 1 /(racine(1+x)+racine(1-x)).
J'ai essayé de multiplier par la quantité conjuguée, puis de poser x=tan(t), sh(t), sin(t). Ca n'a pas l'air de marcher.
Aussi de factoriser racine(1+x) pour avoir 1+racine((1-x)/(1+x) au dénominateur et de poser u=1-x/1+x, mais ce n'est pas concluant non plus.
Avez-vous des idées ?
Merci d'avance.

[Pisigma]

Bonjour,

multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur, ça marche

montre un peu tes calculs

tu pourrais aussi poser x=cos(u), ça marche aussi

[BenoîtL-21]

J'obtiens constante*intégrale de 0 à 1 de (racine(1+x)-racine(1-x))/x, puis en posant x=cos(t), constante * intégrale de 0 à Pi/2 de (cos(t/2)-sin(t/2))tan(t). Je peux éventuellement simplifier en cos(t/2)/(1+tan(t/2)). Ensuite, Bioche ne donne rien, t=tan(t/4) donne intégrale de 0 à 2-racine(3) de (1-t²)²/((1+t²)²(1-t²+2t)). Ça ne donne pas envie ...
D'autres idées ?

[Sa Majesté]

Salut,

L'autre idée de Pisigma marche bien : poser x=cos(u)

J'ai trouvé

Mais bon j'ai fait les calculs de tête alors j'ai pu me tromper.
Ceci dit mon résultat est plausible puisqu'il doit être compris entre et

[Pisigma]

2) 2ème méthode: après avoir posé , et quelques transformations, on obtient



ensuite on pose

au final , je trouve (résultat identique à celui de Sa Majesté après développement)

sauf erreur de recopie

[BenoîtL-21]

Merci beaucoup Pisigma et Sa Majesté pour votre aide.
Avec le changement de variables, en effet ça marche bien.
J'ai trouvé ln(3-2racine(2)) au lieu de ln(3+2racine(2)), mais il faut que je refasse le calcul pour vérifier.

[Pisigma]

de rien

[Sa Majesté]

de rien

Ben si quand même