Question d'indépendance linéaire

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Frandom94
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Question d'indépendance linéaire

par Frandom94 » 15 Avr 2020, 19:14

Bonjour à toutes et à tous,

Je viens vers vous car je ne comprends pas bien le corrigé d'une question dont le but est de montrer l'indépendance linéaire de trois polynômes. Voilà la question :

Soient a, b et c, des nombres complexes distincts. Montrer que les polynômes de degré 2 qui suivent sont linéairement indépendants : P1=(X-b)(X-c), P2=(X-c)(X-a) et P3=(X-a)(X-b).

Il est indiqué en guise de corrigé que :
Montrons que P1, P2 et P3 sont tels que si xP1+yP2+zP3=0, alors x=y=z=0. P2(a)=P3(a)=0 et P1(a) est différent de 0 car a, b et c sont distincts. Par conséquent, 0=P1(a)=xP1(a) donne x=0. On trouve de même que y=z=0.

Je ne vois pas vraiment pourquoi cela nous permet de conclure que l'implication voulue est vraie car à chaque fois, on choisit une valeur particulière pour X.

Je vous remercie par avance et vous souhaite une bonne soirée :)



Carpate
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Re: Question d'indépendance linéaire

par Carpate » 15 Avr 2020, 19:37

On veut montrer l'indépendance linéaire de P1(X), P2(X), P3(X) c'est-à -dire que pour tout X, xP1(X)+yP2(X)+zP3(X) = 0 entraine x=y=z=0
donc en particulier pour X={a, b ,c}

Frandom94
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Re: Question d'indépendance linéaire

par Frandom94 » 15 Avr 2020, 21:34

Bonsoir Carpate,

Cette implication est donc vraie uniquement pour ces X précis. A priori, on ne sait pas vraiment ce qu'il se passe pour les autres...

Merci beaucoup :)

Carpate
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Re: Question d'indépendance linéaire

par Carpate » 15 Avr 2020, 23:48

On pourrait évaluer cette relation pour 3 valeurs quelquonques pour obtenir 3 équations d'inconnues x, y, z mais c'est quand même plus astucieux et logique de l'évaluer en a, b et c.

Frandom94
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Re: Question d'indépendance linéaire

par Frandom94 » 16 Avr 2020, 15:31

Bonjour Carpate, merci pour ta réponse.

Oui comme tu dis, cela semble logique.

Mais à chaque fois on choisit une valeur particulière pour X. Qu'est-ce qui nous dit que pour des valeurs de X différentes de a, b ou c, on trouverait encore : xP1(X)+yP2(X)+zP3(X) = 0 entraîne x=y=z=0.

Bonne fin de journée ;)

GaBuZoMeu
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Re: Question d'indépendance linéaire

par GaBuZoMeu » 16 Avr 2020, 16:29

Frandom94 a écrit:Mais à chaque fois on choisit une valeur particulière pour X. Qu'est-ce qui nous dit que pour des valeurs de X différentes de a, b ou c, on trouverait encore : xP1(X)+yP2(X)+zP3(X) = 0 entraîne x=y=z=0.)


Visiblement, la logique du raisonnement t'échappe.
On suppose que le polynôme est nul, et on cherche à en déduire que (c'est la définition de l'indépendance linéaire de ces polynômes, n'est-ce pas - pour tout tel que , on a ).

De l'hypothèse , on déduit que pour tout nombre complexe , . Ça nous fait un système formé d'une infinité d'équations en (une équation pour chaque complexe ). On en extrait un sous système formé des trois équations correspondant à . Si le triplet satisfait le système formé d'une infinité d'équations, il doit certainement satisfaire le sous-système formé par trois d'entre elles, n'est ce pas ? Qui peut le plus peut le moins.
Et maintenant on voit que ce sous-système de trois équations à trois inconnues a pour unique solution . C'est gagné !

L'équation impose comme on l'a vu une infinité de contraintes à . On s'est contenté de trois de ces contraintes pour démontrer que nécessairement ; bien entendu, on a été astucieux dans le choix des trois contraintes : le système de trois équations obtenu est très facile à résoudre !

Carpate
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Re: Question d'indépendance linéaire

par Carpate » 16 Avr 2020, 16:34

Tu peux "t'amuser" à résoudre le système suivant d'inconnues



et montrer que la solution est

Frandom94
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Re: Question d'indépendance linéaire

par Frandom94 » 16 Avr 2020, 16:40

Et bien, merci beaucoup pour tes explications ! J'ai désormais compris le raisonnement ! Bonne fin de journée à toi ! :)

 

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