Analyse complexe

[MaitreMoulax]

Bonsoir les gens!
Pouvez-vous m'aidez à finir cette preuve s'il vous plaît, je ne trouve pas la contradiction.

Soit un nombre complexe et > 0 un nombre réel. On note U = D(a, r)\{a}. Soit
f ∈ O(U) une fonction holomorphe vérifiant Re(f(z)) ≥ 0 pour tout z ∈ U.

Montrer que f se prolonge en une fonction holomorphe sur tout le disque D(a, r).

Supposons que f ne se prolonge pas. Alors n'est pas une singularité apparente. Donc est un pôle d'ordre k>1. Donc a est apparent pour 1/f. Je ne vois pas la suite..

Merci pour vos réponses!

[GaBuZoMeu]

Il faut éliminer les possibilités suivantes :

1°) singularité essentielle. Pourquoi ne peut-il pas être une singularité essentielle

2°) pôle. Pourquoi ne peut-il pas être un pôle ? (indication : si était un pôle, se prolongerait en une fonction holomorphe au voisinage de , non constante et nulle en ).