Petite énigme géomètrie ?

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Deedet
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Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 00:57

Bonjour !

Mon père étant un grand passionné des maths dans son enfance, il a voulu me poser une énigme sur laquelle je me casse la tête depuis une bonne petite heure avec mon niveau de maths vraiment bof.

Voici l'énigme et mon raisonnement :

Image

Soit un carré ABCD de côté "x" avec AC une diagonale de ce carré. Soit un autre carré BEFG de côté "y" collé à ce dernier tel que G appartient à [BC] et BG < BC. On a DB = CF (En terme de distance). On cherche à trouver l'angle .

Voici mon raisonnement :

Je vais essayer, pour trouver l'angle, de trouver le cos de ce dernier. Je sais que :

Et je sais que
Le problème maintenant c'est trouver AE :?
J'ai essayer de l'exprimer par rapport à x et y et de supprimer d'une manière ou d'une autre les inconnues mais avec mon niveau de maths je m'embrouille assez facilement :oops:
Avec Geogébra j'ai réussi à trouver que l'angle était de 15° mais du coup j'ai pas la méthode :/
Suis-je sur la bonne voie ? Ou dois-je passer par un autre raisonnement, par exemple travailler avec les angles ou je-ne-sais quoi d'autre ?

Merci pour votre aide ! (C'est mon premier post, soyez indulgent ;) )



lyceen95
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par lyceen95 » 15 Avr 2020, 01:54

Avec Pythagore, tu peux dire que AF²=AE²+EF²
et AC²=AB²+BC².
Et ainsi tu vas trouver y = x multiplié par un certain coefficient k.

Et ensuite, tu trouveras assez facilement l'angle AE AF , parce que tu as le cosinus de cette angle.

Mais ce n'est probablement pas la solution attendue par ton grand-père.

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Sa Majesté
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Sa Majesté » 15 Avr 2020, 09:36

Deedet a écrit:On a DB = CF (En terme de distance)

Là j'ai des doutes ...

GaBuZoMeu
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par GaBuZoMeu » 15 Avr 2020, 10:30

Plus que des doutes, la certitude que c'est impossible !

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Ben314
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Ben314 » 15 Avr 2020, 12:06

Salut,
En supposant que l'énoncé est faux mais que la figure est correcte (i.e. que l'on a AF=AC et pas DB=CF) on peut s'en sortir avec la loi des sinus dans le triangle AFB :

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Imod
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Imod » 15 Avr 2020, 12:21

Si on n' aime pas les calculs on peut remarquer que AFI est équilatéral ( avec I symétrique de F par rapport à (AC) .

Imod

Deedet
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 12:29

Sa Majesté a écrit:
Deedet a écrit:On a DB = CF (En terme de distance)

Là j'ai des doutes ...

Oups, je voulais dire AC=AF Pardon :D

Deedet
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 12:34

Ben314 a écrit:Salut,
En supposant que l'énoncé est faux mais que la figure est correcte (i.e. que l'on a AF=AC et pas DB=CF) on peut s'en sortir avec la loi des sinus dans le triangle AFB :


Bonjour !
C'est ça, j'ai fait une petite (grosse) erreur dans l'énoncé :D
Il fallait donc passer par le sinus, je vois , je vais essayer de le refaire ^^
Merci pour votre aide !

Deedet
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 12:39

Imod a écrit:Si on n' aime pas les calculs on peut remarquer que AFI est équilatéral ( avec I symétrique de F par rapport à (AC) .

Imod

En effet, on a CAE = 45° et CAF = 30°, ainsi FAE = 15° !
Merci :D

Deedet
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 12:40

GaBuZoMeu a écrit:Plus que des doutes, la certitude que c'est impossible !

Oui, petite erreur dans l'énoncé :(

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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Ben314 » 15 Avr 2020, 12:42

Deedet a écrit:Il fallait donc passer par le sinus, je vois , je vais essayer de le refaire ^^
Ce n'est évidement pas "il faut" mais "on peut" : il y a toujours plusieurs méthodes pour résoudre un problème.
Et en occurrence, celle proposée par imod est bien plus rapide.
Voit tu pourquoi le triangle AFI est équilatéral (sans aucun calcul) ?
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par GaBuZoMeu » 15 Avr 2020, 12:44

Variante :

Image

Soit a le côté du grand carré, b le côté du petit
Pythagore dans AEF : 2a² = (a+b)²+b².
Pythagore dans CGF : FC² = b²+(a-b)².
D'où FC = 2b.

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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 13:09

Ben314 a écrit:
Deedet a écrit:Il fallait donc passer par le sinus, je vois , je vais essayer de le refaire ^^
Ce n'est évidement pas "il faut" mais "on peut" : il y a toujours plusieurs méthodes pour résoudre un problème.
Et en occurrence, celle proposée par imod est bien plus rapide.
Voit tu pourquoi le triangle AFI est équilatéral (sans aucun calcul) ?

Autant pour moi :D

Je sais que ET que , de plus, AC est une médiatrice de IAF qui coupe FI en son centre puisque

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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 13:15

GaBuZoMeu a écrit:Variante :

Soit a le côté du grand carré, b le côté du petit
Pythagore dans AEF : 2a² = (a+b)²+b².
Pythagore dans CGF : FC² = b²+(a-b)².
D'où FC = 2b.

Je vais poser à mon père l'exercice de trouver FC et le regarder galérer bouahaha :ptdr:

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Re: Petite énigme géomètrie ?

par GaBuZoMeu » 15 Avr 2020, 13:20

Deedet a écrit:

Non.

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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 13:25

GaBuZoMeu a écrit:
Deedet a écrit:

Non.

Aie aie aie, c'est faux ou bien juste ça n'a aucun rapport avec le fait que ce soit équilatéral ?

(la honte je suis en supérieur je sais pas reconnaître un triangle :( )

GaBuZoMeu
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par GaBuZoMeu » 15 Avr 2020, 13:29

As-tu fait un dessin avec I ? Est-ce que C est le milieu de FI ?

Deedet
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Deedet » 15 Avr 2020, 14:22

En effet, je me suis complètement trompé, C n'est meme pas dans le triangle

lyceen95
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par lyceen95 » 15 Avr 2020, 14:38

AFI équilatéral, oui je suis d'accord... mais je constate que AFI est équilatéral parce que par mon calcul précédent, je sais que l'angle A fait 60°.
L'angle FAI mesure 60° donc le triangle AFI est équilatéral, donc l'angle FAI mesure 60° ... bof, pas terrible comme démo !

Comment on montre que AFI est équilatéral sans calculer l'angle FAI ?

Imod
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Re: Petite énigme géomètrie ?

par Imod » 15 Avr 2020, 14:48

Si tu regardes bien , [AC] et [FI] sont les diagonales de deux carrés identiques .

Imod

 

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