Espérance d'une v.a.

[Ncdk]

Bonjour,
Je me replonge dans un peu de mathématique mais je suis bloqué sur cet exercice.

Soit X une v.a. positive dont la loi admet une densité de probabilité. Montrer que : .

Début de résolution :


Par définition d'une densité de probabilité :



Je pense qu'en utilisant le théorème de Fubini-Tonelli, je vais pouvoir intervertir les intégrales, mais ça ne me mène nulle part. Ce n'est peut-être pas la bonne manière de faire.
Merci d'avance.

[LB2]

Hello,

c'est la version "à densité" du théorème de la baignoire qui existe aussi pour une v.a. discrète.

On peut utiliser une intégration par parties sur un segment et passer à la limite (proprement).

[Ncdk]

Est-ce que tu aurais un lien pour illustrer tes propos ? Je suis plus du tout dans les cours, j'ai perdu des notions sur les lois à densité et surtout l'intégration en règle générale.

[tournesol]

Le theorème de FT règle rapidement le pb.

[Ncdk]

Bonjour,

Merci de ta réponse ! En revanche, je ne comprends pas la première égalité et ce "changement de bornes". Je suis archi rouillé sur Fubini-Tonelli... Est-ce que tu pourrais m'éclaircir sur cette égalité ?

[GaBuZoMeu]

Tu intègres sur l'ensemble des tels que . On peut commencer par intégrer en , ou par intégrer en .

[LB2]

On peut se passer du théorème de Fubini en procédant "naïvement" avec une I.P.P (en intégrant 1 et en dérivant F), mais il faut un peu de soin lors du passage à la limite, pour justifier la convergence.

[tournesol]

Je sais plus si on peut faire une IPP avec une fonction dérivable presque partout .