Montrer qu'un somme est finie avec l'intégrale de Lebesgue

[KKLK]

Bonjour a tous,

Je dois faire un exercice de théorie de la mesure mais je suis bloqué et j'espère que quelqu'un pourra m'aider.

L'énoncé est le suivant:
Soit une fonction mesurable, positive et bornée.
Montrez que .

Je peux supposer que .

Voici ce que j'ai jusqu'à présent:



()





Ensuite, je voudrais dire que , mais je ne sais pas comment le justifier.

()



Si quelqu'un peut vérifier ce que j'ai fait et m'aider avec la première partie de la démo, je l'apprécierais vraiment.

[tournesol]

pour
Dans ton avant dernière ligne , tu peux minorer par et appliquer la tranformation d'Abel à la somme de ces termes minorants .

[KKLK]

pour
Dans ton avant dernière ligne , tu peux minorer par et appliquer la tranformation d'Abel à la somme de ces termes minorants .

Merci beaucoup!