Algèbre extérieure

[MaitreMoulax]

Bonsoir camarades,

Je dois répondre à des questions sûrement triviale sur les algèbres extérieures. Nous n'avons plus de cours et j'ai du mal à saisir l'idée de ce qu'est une forme.

1) Soit muni de son produit scalaire et orientation usuels. Montrer que l’opérateur de
Hodge sur les 1-vecteurs, ∗ : Λ^1(R^2) → Λ^1(R^2), correspond à une rotation de π/2.

Ici je ne sais vraiment pas quoi faire.....
Soit a Λ^1(R^2), alors
Je veux bien appliquer l'opérateur de Hodge mais celui-ci ne "mange" que des éléments sous la forme ^ ^ ... ^


2)Montrer que d(F1dy ∧ dz + F2dz ∧ dx + F3dx ∧ dy) = (∇ · F )dx ∧ dy ∧ dz
Pour ici, dois-je uniquement utiliser les 3 propriétés de l'algèbre extérieure, ( ie multilinéaire, associative et super-commutativité)?

Merci pour vos pistes!
Bonne journée

[GaBuZoMeu]

Un élément de , autrement dit un 1-vecteur, c'est juste ... un élément de .
Si est un tel vecteur, tu peux écrire où est un vecteur de norme 1 ; on peut le compléter en une b.o.n. directe de . Il ne te reste plus qu'à appliquer la définition de l'opérateur de Hodge pour calculer .

Pour 2 : commence par calculer .