Ordre d'un Groupe

[tournesol]

Encore merci GaBuZoMeu pour ton expertise et ta disponibilité .
Par contre quid des groupes commutatifs s'il te plait ?

[Xavier63]

Je perds mon latin !

Pour les groupes U(Z/7Z) et U(Z/9Z), dans le cas général (sans tenir compte du fait qu'ils soient cycliques) comment procède-t-on pour dire qu'ils sont isomorphes ?

Pendant ce temps je réfléchis à démontrer que 2 groupes cycliques de même ordre sont isomorphes !

[Xavier63]

Je perds mon latin !

Pour les groupes U(Z/7Z) et U(Z/9Z), dans le cas général (sans tenir compte du fait qu'ils soient cycliques) comment procède-t-on pour dire qu'ils sont isomorphes ?

Pendant ce temps je réfléchis à démontrer que 2 groupes cycliques de même ordre sont isomorphes !

[GaBuZoMeu]

@tournesol : Comme tu l'as écrit, je pense qu'il suffit d'appliquer le théorème de structure des groupes abéliens finis. Le plus commode est sans doute de dire qu'un groupe abélien est isomorphe à un unique groupe de la forme où les sont premiers (pas nécessairement distincts). On raisonne alors sur les ordres qui sont des puissances de premiers (on peut faire un raisonnement par récurrence sur l'ordre des groupes). Je te laisse compléter, pyuisque c'est toi qui t'es embringué là-dedans.

@Xavier63 : ben justement, il faut tenir compte du fait qu'ils sont cycliques !!

[tournesol]

Merci GaBuZoMeu .

[Xavier63]

Si j'ai bien compris, les groupes G= U(Z/20Z) = { 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19} et H = (Z/8Z, +) ne sont pas isomorphes, car G n'est pas cyclique ?

[GaBuZoMeu]

Ben oui, un groupe est isomorphe à un groupe cyclique si et seulement s'il est lui-même cyclique, et de même ordre.

[Xavier63]

Je ne comprends pas quelque chose
les groupes G = U(Z/20Z) et H = U(Z/4Z) x U(Z/5Z) sont isomorphes et nous avons :

G= U(Z/20Z) = { 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19} avec comme sous groupes :
{1}, {1, 9}, {1, 11}, {1, 19}, {1, 3, 7, 9}, {1, 9, 13, 17}

H = U(Z/4Z) x U(Z/5Z) avec pour sous groupes :
{(1,1)}, {(1,1), (1, 2), (1, 4)}, {(1, 1), (1, 3), (1,4)}, {(1, 1), (1, 4)}, {1, 1), (3, 1)}, {(1,1), (3,2), (1, 4), (3, 3)}, {(1,1), (3,3), (1,4), (3, 2)}, {(1,1), (3,4)}

Comment faire pour trouver qu'ils sont isomorphes, je suis un peu perdu !

[Xavier63]

La réponse étant donnée par le théorème chinois que je ne connais pas, et qui dit que 4x5 =20 et 4, 5 sont premiers entre eux, donc les groupes G = U(Z/20Z) et H = U(Z/4Z) x U(Z/5Z) sont isomorphes

[tournesol]

Tu essaie de prouver que U (Z/20Z) est le produit cartesien de deux de ses sous groupes , l'un d'ordre 2 , isomorphe à U(Z/4Z) et l'autre d'ordre 4 , isomorphe à U(Z/5Z) .Tu construis simplement la table de multiplication des deux sous groupes .
J'utilise le resultat immédiat suivant :
Si (G,□) et (H,○) sont respectivemdnt isomorphes à (G', ■) et (H' , ●) , alors (GXH , □x○) est isomorphe à (G'XH' , ■x●) .

[Xavier63]

comment démontrer que 2 groupes cycliques de même ordre sont isomorphes ?

[Xavier63]

Dire qu'ils sont cycliques et de même cardinal serait-il suffisant ?

[tournesol]

GaBuZoMeu te l'a dit , moi aussi en te disant que tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à (Z/nZ , +) .
Tu dois réviser ton cours sur les groupes monogènes . On y démontre qu'ils sont isomorphes à (Z , +) lorsqu'ils sont infinis et a Z/nZ comme je te l'ai dit dans le cas contraire .