Espaces vectoriels - dimensions

[joquetino]

Bonsoir à tous,

J'ai une question sur un exo qui vient de exo 7.

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Soit H un hyperplan dans un espace vectoriel E de dimension finie. Soit v ∈ E\H. Montrer que H et Vect(v) sont des sous-espaces supplémentaires dans E.

J'ai résolu l'exo de la façon suivante.


Un hyperplan d'un espace vectoriel de dimension n est un 1 sous-espace vectoriel de dimension n-1.
Donc dim (H) = n-1
De plus, vect(v) n'appartient pas à H : donc vect(v) inter H =vide (et dim = 0)
On a donc (formule de Grassman) : dim (H + vect(v)) = n-1+1=n

On a montré que dim (H + vect(v) ) = dim(E) et H inter vect(v)=Vide
Donc on a montré que H et Vect(v) sont supplémentaires dans E.

Mais il y a une suite dans l'exo et je ne sais pas où ils veulent venir.

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Soit H' un hyperplan de E différent de H. Calculer la dimension de H inter H'?

Pouvez-vous m'aiguiller ? Je pense que la dimension est égale à 1 mais pas sûr du tout.

Merci à vous.

[GaBuZoMeu]

Montre que H' contient un vecteur qui n'appartient pas à H.
Utilise alors la question précédente pour trouver les dimensions de H+H' et de l'intersection de H et H'.

[joquetino]

Donc H’ contient un vecteur qui n’appartient pas à H. Soit v ce vecteur. Grâce à 1), on en déduit que vect(v) et H sont supplémentaires dans E.
Et dim (H+H’) = n = dim (H) + dim (H’) - dim (H inter H’)
Donc dim (H inter H’) = n-2

C’est bien cela ?

Sinon, GaBuZoMeu, j’ai cru comprendre que tu avais bossé à Rennes 1 ?

[GaBuZoMeu]

Il manque des arguments
"Donc H’ contient un vecteur qui n’appartient pas à H." : pourquoi ?
"Et dim (H+H’) = n" : pourquoi ?

[joquetino]

"Donc H’ contient un vecteur qui n’appartient pas à H." : pourquoi ?"
On sait que H et H-1 sont composés de n-1 vecteurs. (avec E = n vecteurs)
Comme H et H-1 sont différents, il y a au moins 1 un vecteur de H' qui n'appartient pas à H.
Supposons qu'il y ait 2 vecteurs de H' qui n'appartiennent pas à H. Alors dim H = n-2 (contradictoire car dim H = n-1)
Donc il y a exactement un vecteur de H' qui n'appartient pas à H.
Est-ce que tu attendais où je me complique la vie pour pas grand chose peut-être ?


"Et dim (H+H’) = n" : pourquoi ?"
On a montré que dim (H + vect(v)) = n = dim (E)
Dim (H + H') = dim (H + vect(v)) = n (par l'exo 1)
Cela suffit ?

Merci pour ton aide.

[GaBuZoMeu]

On sait que H et H-1 sont composés de n-1 vecteurs. (avec E = n vecteurs)
Comme H et H-1 sont différents, il y a au moins 1 un vecteur de H' qui n'appartient pas à H.
Supposons qu'il y ait 2 vecteurs de H' qui n'appartiennent pas à H. Alors dim H = n-2 (contradictoire car dim H = n-1)
Donc il y a exactement un vecteur de H' qui n'appartient pas à H.
Est-ce que tu attendais où je me complique la vie pour pas grand chose peut-être ?

Non, j'attendais que tu donnes un argument simple, mais convaincant. Or ce que tu viens d'écrire ne tient absolument pas debout.
Tu fais comme si H et H' (pourquoi H-1 ???) avaient tous les deux n-1 éléments ... Ça ne va pas du tout.
L'ingrédient d'un raisonnement correct : si H' est un sous-espace vectoriel de H et si dim(H')=dim(H), alors H'=H. Peux-tu justifier ce point ?

Pour le deuxième, j'attendais l'argument : puisque v appartient à H', E=H+vect(v) est contenu dans H+H', donc H+H'=E.

[joquetino]

Oui je voulais dire H' (et non H-1)
Je pensais qu'un hyperplan avait n-1 dimensions. Voilà pourquoi je disais que H et H' ont n-1 éléments.

Sinon : si H' est un sous-espace vectoriel de H et si dim(H')=dim(H), alors H'=H. Peux-tu justifier ce point ?
Si H' est un sous-espace vectoriel de H, H' est donc inclus dans H. De plus si dim(H) = dim(H'), alors H=H'.
C'est effectivement évoqué dans le cours. Tu souhaites une démonstration de cela ?

[GaBuZoMeu]

Là, tu n'as fait que répéter l'assertion. Je ne vois pas d'argument.

[joquetino]

C’est évoqué dans le cours mais il n’y a pas la démonstration. Je ne sais pas trop te répondre à vrai dire ...
Merci pour ta patience en tout cas.

[GaBuZoMeu]

Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace de E (je ne suppose pas a priori que F est de dimension finie). Les familles libres de F sont bien sûr libres dans E, donc le cardinal d'une famille libre de F est majoré par la dimension de E. On peut donc prendre une famille libre maximale dans F, qui fait une base de F, et la dimension de F (le nombre d'éléments de cette base) est inférieure ou égale à celle de E. Si la dimension de F est égale à celle de E ... je te laisse finir.

[joquetino]

Ok merci bcp je vais reprendre tout ça demain.