Espace vectoriel

[meysan]

Bonsoir,

J'ai fait un exercice et j'aimerais savoir si celui-ci est juste,svp. Voir ci-dessous:

énoncé :

Soit E un espace vectoriel réel. Montrer que si E , alors E contient une infinité de vecteurs.

Ma réponse :

Si alors pour tout x appartenant à E on a x donc x appartient R\{0} donc l'espace vecctoriel E admet une infinité de vecteurs.

Cordialement

[GaBuZoMeu]

Non, ça ne va pas.

Si alors pour tout x appartenant à E on a x

Bien sûr que non, puisque . Mais ce qui est vrai, c'est qu'il existe un vecteur de différent du vecteur nul.
Il ne faut pas se prendre les pieds dans les quantificateurs.

donc x appartient R\{0} donc l'espace vecctoriel E admet une infinité de vecteurs.

Et là, on perd complètement le sens.
Ce qu'il faut faire, c'est partir d'un vecteur non nul (on sait qu'il y en a au moins un) pour en construire une infinité de différents.
Allez, je t'en donne un deuxième : .

[tournesol]

E n'est pas égal à R .
Si E alors il contient x non nul ainsi que tous ses multiples de la forme ax , avec a décrivant R .
C'est pour cela que E contient une infinité de vecteurs .