Distributions

[aissayoub]

Bonjour , svp quelqu'un a une idée pour la question 2. Merci

[L.A.]

Bonsoir,

la convergence dans S' est la convergence simple, donc pour montrer que f_n converge vers f, il faut montrer que pour toute fonction test phi dans la classe de Schwartz S, l'intégrale de f_n x phi tend vers l'intégrale de f x phi.

Sachant que f_n - f est nulle sur [-n ; n], bornée, et que phi est à décroissance rapide (plus rapide que disons 1/x²), etc.

[aissayoub]

Merci monsieur pour votre réponse voici ce que j'ai compris

[L.A.]

Non, la fonction 1/|x|^a (0<a<1), typiquement 1/racine(x) (a=0,5), n'est pas intégrable sur ]n;+infini[,
ton intégrale est donc infinie pour tout n et, a fortiori, ne tend pas vers 0.

C'est phi qui doit rester sous l'intégrale avec 1-1_[-n;n], puisqu'elle est à décroissance rapide,
et f qui doit en sortir sous forme de sup, puisqu'elle ne décroît pas assez vite.

[aissayoub]

mais est ce que le sup de f est fini ?

[L.A.]

mais est ce que le sup de f est fini ?

en dehors de [-1;1] disons, f est majorée par 1, donc si on suppose n>0, f.(1-1_[-n;n]) est majorée par 1-1_[-n;n]

[aissayoub]

vous avez raison , mais par contre j'ai vérifié la réponse que je vous ai envoyé , en fait le théorème de convergence monotone nécessite pas que f soit intégrable.

[L.A.]

vous avez raison , mais par contre j'ai vérifié la réponse que je vous ai envoyé , en fait le théorème de convergence monotone nécessite pas que f soit intégrable.

pour une suite croissante de fonctions positives d'accord, mais ici il s'agit d'une suite décroissante

[aissayoub]

Du coup comment je peux s'en sortir ?

[L.A.]

Je t'ai tout donné déjà :
- on suppose n>0 donc on intègre en dehors de l'intervalle [-1;1]
- on majore f par 1
- il reste à montrer que l'intégrale de phi sur R\[-n ; n] tend vers 0 quand n tend vers l'infini, ce qui est valable pour toute fonction intégrable et a fortiori celles de la classe de Schwartz.

[aissayoub]

est ce que vous etes sur que sup de f est fini , moi je vois que sup de f = +00 ?

[aissayoub]

en plus si on veut appliquer cette méthode on aura un problème au voisinage de 0.

[L.A.]

Dans la première question, tu as du utiliser que f est intégrable au voisinage de 0, ce qui signifie que cette singularité ne pose pas de problème, en effet f x phi est aussi intégrable.

La seule difficulté dans la question 2 est donc l'intégrabilité de f x phi à l'infini : c'est bien le cas car phi est à décroissance rapide, mais ce n'est pas le cas pour f.

et on peut bien majorer f par 1 puisque (f-f_n) x phi est nulle sur [-1 ; 1]

[aissayoub]

oui vous avez raison , merci bq