Inégalité à vérifier

[abc]

Bonjour,
Peut-on démontrer l'inégalité suivante?

(2n+3)^n > (2n)^n + (2n+1)^n > (2n+2)^n pour tout n entier >0

Merci pour votre aide!

[alma44]

Bonjour,
essaye avec n=1 !
Tu verras que c'est faux.

[abc]

Oui, d'accord j'aurais dû écrire:

Peut-on démontrer l'inégalité suivante?

(2n+3)^n > (2n)^n + (2n+1)^n > (2n+2)^n pour tout n entier >1

[alma44]

Bonjour,

essaye avec n=2. Tu verras que c'est encore faux.
Je pense que tu t'es planté dans l'énoncé.

[nodgim]

Pour n = 1 il y a au moins une égalité.
Pour n = 2 et au delà, c'est correct.

As tu tenté avec l'amorce du développement de (2n+3) ^ n ? tu devrais en tirer quelque chose.

[abc]

Merci pour votre aide!
J'ai résolu mon problème en passant par les limites lorsque n tend vers l'infini.
Ainsi (2n+3)^n > (2n)^n + (2n+1)^n pour tout n entier >1.
Par contre (2n)^n + (2n+1)^n devient plus petit que (2n+2)^n lorsque n tend vers l'infini.

[nodgim]

Ce qu'il se passe aux limites, c'est une chose, ça ne prouve pas que c'est vrai pour tout n.

[abc]

Si on divise (2n)^n + (2n+1)^n par (2n+2)^n on voit que le rapport diminue. Ce sont deux fonctions strictement croissantes mais leur rapport diminue, lorsque n croît, jusqu'à la limite qui est 0,9744 lorsque n tend vers l'infini.

[nodgim]

C'est loin d'être convaincant.