Sous-familles finies d'une famille libre infinie de vecteurs

[Guigui1Pierre]

Bonjour à tous,

Je cherche la démo de ceci:
Soit E un ev sur IK.
Si toutes les sous-familles finies d'une famille infinie de vecteurs de E sont libres, alors cette famille est libre.

Par ailleurs, j'ai su démontrer la réciproque.
J'aimerais pouvoir montrer ce que j'ai essayé de faire comme raisonnement mais je ne parviens pas à utiliser l'éditeur d'équation et, sans ça, les notations vont être trop lourdes.

Merci à ceux qui m'aideront

[LB2]

Bonjour,

tout dépend de ta définition de la liberté d'une famille infinie de vecteurs de E... Pour certains, c'est justement que toute sous famille finie est libre.

[GaBuZoMeu]

La notion de liberté d'une famille infinie de vecteurs est la même pour tout le monde, je pense : c'est que toute combinaison linéaire de cette famille de vecteurs égale au vecteur nul a tous ses coefficients nuls.
(Si est une famille quelconque de vecteurs, une combinaison linéaire est une somme , où la famille de scalaires a un support fini : les sont nuls sauf pour un nombre fini de .)

[LB2]

Oui je suis d'accord avec toi GBZM, à ce moment là tu dois définir une combinaison linéaire d'une famille infinie.
Et bien avec cette définition la démonstration me semble assez immédiate, mais peut être me trompé-je

[tournesol]

On peut définir une famille libre comme étant une famille génératrice minimale de la structure qu'elle engendre . Dans le cas d'un ev , cette définition est équivalente à la définition classique par les combinaisons linéaires .

[Guigui1Pierre]

J'avais pas fait attention au fait qu'une combinaison linéaire est toujours définie par une famille de scalaires à support fini. Du coup, j'ai pu trouver ma démonstration. Merci beaucoup

[GaBuZoMeu]

Ben oui, il faut bien cette condition de support fini pour que la somme ait un sens. C'est ce qui se passe pour la famille des coefficients d'un polynôme (avec la base infinie ).
Et on peut vérifier que l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille est bien le plus petit sous-espace contenant tous les éléments de la famille - même quand cette famille est infinie.