Divisibilite de factorielles

[Yann91]

Je butte sur le problème suivant:

Combien de cubes divisent n=3!×5!×7!×...x399!
1)
Il faut en premier effectuer la decomposition en facteurs premiers de n en utilisant le calcul de valuation de lagrange pour chaque factorielle et fusionner les résultats.
2)
Après il faut pour chaque nb premier de la decomposition qui est un cube ou un multiple de cube calculer le nb de combinaisons avec les autres nombres de la decomposition

Quelqun voit il une méthode plus simple?
Deplus la 2eme partie n'est pas au point: 2^4 par ex donne 2 cubes

Merci davance de votre aide.

[L.A.]

Bonsoir,

je pense qu'il faut regarder le quotient k dans la division euclidienne par 3 de chaque facteur premier de n.
En effet si p est premier et r=0,1 ou 2 alors il y a k+1 cubes qui divisent p^(3k+r) :
ce sont 1, p^3, p^6, ..., p^(3k)

[Yann91]

Celà ne résout pas complètement le problème.
Un produit de plusieurs des facteurs premiers peut être un cube.
N=p1^(3k1+r1).p2^(3k2+r2).p3^(3k3+r3)...
Le nombre de cubes n'est pas (k1+1).(k2+1)...
Quelqu'un atil une idée ?

[nodgim]

@ Yann91 : je ne te suis pas. Un exemple ?

[GaBuZoMeu]

Tu considères bien le produit des factorielles de tous les entiers impairs de 3 à 399 ?
Moi je partirais plutôt comme ça : pour chaque nombre premier p inférieur à 399, je compterai la valuation p-adique de ce produit de factorielles. Après, le nombre de cubes qui le divise tombe tout seul, ou presque.

N=p1^(3k1+r1).p2^(3k2+r2).p3^(3k3+r3)...
Le nombre de cubes n'est pas (k1+1).(k2+1)...

Ben si. Un nombre est un cube si et seulement si, pour tout premier p, sa valuation p-adique est multiple de 3.

[Yann91]

Tu considères bien le produit des factorielles de tous les entiers impairs de 3 à 399 ?
Moi je partirais plutôt comme ça : pour chaque nombre premier p inférieur à 399, je compterai la valuation p-adique de ce produit de factorielles. Après, le nombre de cubes qui le divise tombe tout seul, ou presque.

N=p1^(3k1+r1).p2^(3k2+r2).p3^(3k3+r3)...
Le nombre de cubes n'est pas (k1+1).(k2+1)...

Ben si. Un nombre est un cube si et seulement si, pour tout premier p, sa valuation p-adique est multiple de 3.

désolé, tu as raison: mes calculs sur un exemple simple étaient erronés.

[nodgim]

@ Yann91: par curiosité, d'où vient ce problème ?