Loi exponentielle-Probabilité

[RitCh]

Bonjour à vous !!! J'ai besoin de votre aide. Je suis à refaire des problèmes de probabilité et il me semble que j'ai oublié quelques caractéristiques de cette loi.
Alors voici le problème :
Il y a 3 compagnies de taxi. À une intersection, le temps d'attente X1, (respectivement X2,X3) pour un taxi de la compagnie 1, (resp 2 et 3) suit une loi exp(10), (resp 15 et 6 minutes). Les Xi sont indépendants. On pose X:La durée du temps d'attente (en minutes) pour l'arrivé du premier taxi provenant d'une des trois compagnie.

J'aimerais savoir si X=min(X1,X2,X3) est la seule façon de résoudre ce problème. J'ai fais la démarche, mais cela me semble bien trop long. Il y a forcément une façon de ''mixer'' X1,X2 et X3. ??? :hein:

a) Trouver E(X)
b)Trouver P(X>5)
c) Si Ni sont les nombres aléatoires de taxis qui se rendront à l'intersection durant les 10 prochaine minutes, trouvez P(N1=1, N2=1, N3=1)

Je vous remercie de votre aide !!! :++:

[BQss]

Bonjour à vous !!! J'ai besoin de votre aide. Je suis à refaire des problèmes de probabilité et il me semble que j'ai oublié quelques caractéristiques de cette loi.
Alors voici le problème :
Il y a 3 compagnies de taxi. À une intersection, le temps d'attente X1, (respectivement X2,X3) pour un taxi de la compagnie 1, (resp 2 et 3) suit une loi exp(10), (resp 15 et 6 minutes). Les Xi sont indépendants. On pose X:La durée du temps d'attente (en minutes) pour l'arrivé du premier taxi provenant d'une des trois compagnie.

J'aimerais savoir si X=min(X1,X2,X3) est la seule façon de résoudre ce problème. J'ai fais la démarche, mais cela me semble bien trop long. Il y a forcément une façon de ''mixer'' X1,X2 et X3. ??? :hein:

a) Trouver E(X)
b)Trouver P(X>5)
c) Si Ni sont les nombres aléatoires de taxis qui se rendront à l'intersection durant les 10 prochaine minutes, trouvez P(N1=1, N2=1, N3=1)

Je vous remercie de votre aide !!! :++:

Si les variables aléatoires X, Y sont indépendantes et suivent deux lois exponentielles de paramètres , , alors Z = inf(X; Y) est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre + ...
POse X=min(X1,X2,X3)=min(min(X1,X2),X3) et donc la loi du minimum c'est la loi exp de parametre 10+15+6.



Va voir ici il y a la demo http://www.proba.jussieu.fr/cours/sauts.pdf
La demo ne parle pas vraiment de ca finalement mais de la deuxieme partie du theoreme.
Une idée pour la demo c'est de faire ca:
min(X1,X2)=X1*1(x1(X1,min(X1,X2))
il y a un difféomorphisme de R+*X1<X2 dans l'espace image(la droite y=x) et un difféomorphisme de X2<X1*R+ dans l'espace image.
et comme tu sais que min(X1,X2)=X1 sur X1<X2 et min(X1,X2)=X2 sur X2<X1
tu divises l'integrale de fx1*Fy2 en deux integrales sur chaque diffeomorphisme. Dans ces deux integrales tu remplaces la variables correspondantes par le inimum et tu integres par rapport a l'autre sur respectivement [X1;+inf[ et [X2;+inf[, il ne te reste plus que de la variable en Y=minimum dans deux integrales sur [0;+inf[.
Tu regroupes les deux expressions et tu as ta densité de parametre + ...