Somme de polynômes aux coefficients identiques

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abc
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Somme de polynômes aux coefficients identiques

par abc » 13 Mar 2020, 17:42

Bonjour,

Est-ce qu'on peut démontrer que l'addition des 2 premiers polynômes ci-dessous ne peut donner le troisième si n, m et k sont des entiers plus grands que 0? Si oui, comment faire? Une approche par les espaces vectoriels peut-elle être utile?

Merci de m'aider à me libérer de ce tourment qui me hante depuis trop longtemps!

3*n^1 + 14*n^2 + 36*n^3 + 24*n^4
3*k^1 + 14*k^2 + 36*k^3 + 24*k^4
3*m^1 + 14*m^2 + 36*m^3 + 24*m^4



GaBuZoMeu
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par GaBuZoMeu » 13 Mar 2020, 19:26

D'où sors-tu ces expressions ?

Crois-tu que les problèmes diophantiens du genre relèvent de l'algèbre linéaire ?

abc
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par abc » 13 Mar 2020, 20:12

Ces expressions sortent de ma tête et ça fait quoi?

GaBuZoMeu
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par GaBuZoMeu » 13 Mar 2020, 20:28

Et pourquoi celles-ci te sortent-elles de la tête ? Perso, je trouve ça curieux comme question. Tu as pris les coefficients au hasard ? Tu as choisi le degré 4 au hasard ?

lyceen95
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par lyceen95 » 13 Mar 2020, 21:22

Je suppose que la question est : peut-on trouver 3 entiers (n,m,k) non nuls tels que P(n)+P(m)=P(k) ?
P étant le polynôme en question.

C'est ça la question ?

abc
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par abc » 13 Mar 2020, 21:40

Oui GaBuZoMeu au hasard, mais la même question se pose avec d'autres coefficients ou avec un degré plus élevés. Mais je ne comprends pas ton questionnement, on dirait que tu redoutes je ne sais quoi.

abc
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par abc » 13 Mar 2020, 21:44

Bonjour lyceen95,
Je crois que ma question revient à ta formulation mais cela ne m'éclaire pas davantage.
Merci

tournesol
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par tournesol » 13 Mar 2020, 22:50

Perso , je trouve interessante la question formulée par lycéen95 : extension aux polynômes de la problématique de Fermat .

Idriss
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par Idriss » 13 Mar 2020, 23:10

lyceen95 a écrit:Je suppose que la question est : peut-on trouver 3 entiers (n,m,k) non nuls tels que P(n)+P(m)=P(k) ?
P étant le polynôme en question.


Si c'est cela la question, alors si P(x)=(x-1)(x-2)(x-3) alors P(1)+P(2)=P(3)

Et si P(x)=x^3 cela n'est pas possible : théorème de Fermat-Wiles.

Conclusion : la réponse dépend du choix de P.

GaBuZoMeu
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par GaBuZoMeu » 14 Mar 2020, 00:20

Dans le cas de , on n'a pas attendu Wiles pour avoir une réponse négative. ;)
Wiles, c'est pour pour tout .
Cet exemple (juste un monôme !) devrait montrer à abc qu'il s'agit de problèmes arithmétiques difficiles, qu'on ne peut pas traiter dans cette généralité avec des idées simplistes du genre "approche avec les espaces vectoriels".

lyceen95
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par lyceen95 » 14 Mar 2020, 00:48

@Idriss : le polynôme est forcément le polynôme

@abc : ça ne t'aide pas, mais maintenant que la question est compréhensible, on va pouvoir commencer à chercher.
Parce que le 1er message, je crois qu'on est quelques-uns à considérer que c'était du charabia et non des maths.

abc
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par abc » 14 Mar 2020, 18:25

Un problème semblable se pose avec P(k) = 3C(1,k) + 14C(2,k) + 36C(3,k) +24C(4,k) où C(i,k) est le nombre de combinaisons de i objets parmi k. Est-il possible de trouver k, j et n tel que P(k)+P(j) = P(n)?

abc
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Re: Somme de polynômes aux coefficients identiques

par abc » 25 Mar 2020, 00:39

J'ai testé par calcul P(k) = k^1 +k^2 +k^3 +k^4 sans trouver P(k)+P(j) = P(n) en faisant varier k, j et n de 1 à 1000. Bien sûr ce n'est pas une démonstration mais cela me laisse croire que cette égalité est impossible.

 

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