[géométrie] consistance d'une construction de pyramide

[lyondif02]

Bonjour,

Je m'interroge sur la consistance d'une construction géométrique issue d'un exercice de classe de quatrième et décrite ci-après : (3 items)

• E1. Soit une pyramide dont la base ABCD est un parallélogramme ;
• E2. Les trois mesures suivantes sont données : AB = 4 cm ; BC = 3 cm ; AC = 6 cm ;
• E3. De plus il est indiqué que les faces latérales de la pyramide sont des triangles isocèles dont deux côtés mesurent 7 cm.

Mon interprétation aboutit à ce qui suit : (elle met en œuvre des notions ou propriétés qui peuvent sortir du cadre du niveau de 4e sans qu'elles soient requises pour la construction elle-même)

• R1. Je note S l'apex de la pyramide. L'item E3 implique que S appartient aux plans médiateurs des segments [AB], [BC], [CD] et [AD].
• R2. L'item E2 implique que le triangle ABC n'est pas rectangle en B (théorème de Pythagore non vérifié par les mesures données).
• R3. ABCD étant un parallélogramme (item E1), les plans médiateurs des segments [BC] et [AD] sont parallèles.
• R4. Des items R2 et R3, je déduis que l'intersection des plans médiateurs des segments [BC] et [AD] est vide. Cela entre en contradiction avec l'item R1.

L'énoncé étant extrait d'un manuel de collège, je voudrais croire que ma conclusion est erronée.

Merci pour votre lecture et de votre avis.

[Noemi]

Bonjour lyondif02,

C'est R3 qui est à modifier. Les plans médiateurs sont confondus et parallèles aux cotés respectifs du parallélogramme.
Un plan médiateur passe par le sommet de la pyramide, le centre de la base de la pyramide et le milieu d'un segment.

[GaBuZoMeu]

Je suis bien d'accord avec lyondif02, quelque chose cloche.
Mais j'aimerais avoir l'énoncé exact. Là j'ai l'impression qu'il s'agit d'une interprétation.

[lyondif02]

Bonjour,

@Noemi et @GaBuZoMeu : merci pour vos réponses.

Concernant la déduction R3 : je m'étais volontairement limité à rapporter la propriété générale de parallélisme des plans médiateurs des côtés opposés de la base -- sans préciser l'égalité ou la distinction éventuelle --, valide pour toute pyramide avec un parallélogramme quelconque comme base.
En revanche l'angle non droit en A du triangle ABC conduit ici à deux plans médiateurs strictement parallèles -- distincts --, ce qui est contradictoire avec l'existence attendue d'au moins un élément commun : l'apex, comme @Noemi le mentionne si la base est un parallélogramme particulier -- au moins un rectangle.
Précisément les mesures données dans l'énoncé excluent cette propriété de la base et (me) plongent dans la perplexité.

Voici l'énoncé littéral et intégral de l'exercice associé :
https://framabin.org/p/?d3781b43f507ec5 ... EhDgZ82gg=
(suivre le lien FramaBin avec le mot de passe

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-- reproduction durable évitée sur ce site pour préserver les droits d'auteurs)
Cet exercice est extrait du manuel "Mathématiques 4e, nouveau programme", Gisèle Chapiron et al., collection Triangle, édition Hatier, Paris, avril 2007, ISBN 978-2-218-92683-9, page 192, numéro 62.

En passant, dans le même ouvrage, l'exercice numéro 72, page 193, me parait tout aussi curieux : (énoncé littéral et intégral)
https://framabin.org/p/?d3781b43f507ec5 ... EhDgZ82gg=
(suivre le lien FramaBin avec le mot de passe

Code: Tout sélectionner

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-- reproduction durable évitée sur ce site pour préserver les droits d'auteurs)
Dans cet exercice numéro 72 page 193, le losange de base de la pyramide n'est pas un carré. Les faces latérales étant données comme des triangles équilatéraux, les plans médiateurs des faces opposées du losange se retrouvent aussi strictement parallèles, ce qui n'est pas compatible avec l'apex attendu.

Une erreur de typographie s'est peut-être glissée malencontreusement sur les valeurs des mesures. Un rectificatif est peut-être déjà édité en ligne ou chez les libraires pour cet ouvrage. J'en serai preneur à l'occasion afin d'y laisser un petit mot pour les prochains lecteurs.

Bonne suite d'après-midi.

[GaBuZoMeu]

On peut tracer des patrons qui ne se recollent pas.
C'est n'importe quoi !

[lyondif02]

On peut tracer des patrons qui ne se recollent pas.
C'est n'importe quoi !

En effet, simplement à titre de curiosité :
On peut obtenir une "pyramide ouverte ou déchirée" par sa diagonale [BD]. Cette pseudo-pyramide correspond à deux tétraèdres qui sont mutuellement images par rotation axiale suivant la médiatrice commune des diagonales [AC] et [BD].
Le pliage de cette pseudo-pyramide suivant la diagonale [BD] permettrait de fusionner les apex des deux tétraèdres engendrés. Le polyèdre obtenu serait un hexaèdre symétrique par le plan passant par la diagonale / l'arête [BD] et l'apex de fusion.
Un ou des schémas seraient plus parlants. Je cherche un logiciel qui permettrait de tracer une telle figure sans le besoin de calcul préliminaire de paramètres analytiques. Avis aux éventuelles idées.

[GaBuZoMeu]

On peut faire ça avec GeoGebra.
Trois vues du solide (j'ai plié suivant la diagonale AC) :

[GaBuZoMeu]

Tournez manège !

[lyondif02]

Tournez manège !

@GaBuZoMeu : merci beaucoup et bravo pour vos quatre fantastiques figures !

Cela me motive encore plus pour découvrir GeoGebra, d'autant plus qu'une distribution libre existe et qu'une version en ligne est accessible.

Je crois que nous pouvons convenir que ces figures concluent ce fil avec brio.

Merci encore à tous et bonne suite de journée.

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.