Morphisme entre Z/4Z et Z/12Z

[missard]

Bonjour,

je suis en train de ressortir mes vieux bouquins de prépa pour refaire des maths. J'ai un exercice, compter les morphisme entre Z/4Z et Z/12Z. On a 2 propriété, l'ensemble image du morphisme doit être un sous groupe de Z/12Z et l'image de l'élément neutre est l'élément neutre. De plus f(x^p) = f(x)^p donc si un éléments de Z/4Z est d'ordre p alors son image aura un ordre qui divise p. Ma question est la suivante, si l'image entre 2 morphisme différents est la même est ce que ces morphismes sont égaux ?

[Mimosa]

Bonjour

D'abord fais attention, les groupes que tu regardes sont additifs et les propriété que tu cites sont multiplicatives.
La réponse à ta question est NON, parce qu'il existe des morphismes différents de l'identité (automorphismes) d'un groupe dans lui-même.

[missard]

Oui j'utilise les notations multiplicatives par défaut... Merci pour ta réponse.

[GaBuZoMeu]

Puisque (Z/4Z,+) est cyclique engendré par (la classe de) 1, un morphisme de (Z/4Z,+) dans un autre groupe est entièrement déterminé par l'image de 1.
Reste à voir quelles sont les images possibles pour 1.

[Mimosa]

Je note la classe modulo 4 de et sa classe modulo 12.
Les morphismes définis par et sont bien différents et ont une même image .