La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

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Dacu
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La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Dacu » 15 Mar 2020, 15:18

Bonjour à tous,

Résoudre l'équation .

Cordialement,

Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.



GaBuZoMeu
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Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par GaBuZoMeu » 15 Mar 2020, 16:13

Tu poses sans arrêt le même genre de problème, sans montrer aucune velléité d'initiative personnelle. Tu ne cherches même pas à exploiter les pistes qui t'ont déjà été données, par exemple de considérer les carrés modulo 8.

Idriss
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Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Idriss » 15 Mar 2020, 17:49

ici, il me semble, qu'une étude modulo 2 de suffit.

annick
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Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par annick » 15 Mar 2020, 18:36

Bonjour,
je suis un peu étonnée que ce problème puisse être posé au collège !

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Sa Majesté
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Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Sa Majesté » 15 Mar 2020, 19:01

annick a écrit:Bonjour,
je suis un peu étonnée que ce problème puisse être posé au collège !

Très juste !
Je déplace.

Black Jack

Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Black Jack » 16 Mar 2020, 11:38

Salut,

x est forcément impair --> x = 2n+1

4n² + 4n + 1 - 2y² + 8z = 2u + 1
2n² + 2n - y² + 4z = u

On peut donc choisir n, y et z comme on veut (dans Z³) et en tirer la valeur de u

exemple :
n = 3 --> x = 2n+1 = 7
y = -2
z = 5

--> u = 2n² + 2n - y² + 4z = 40

8-)

Dacu
Membre Rationnel
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Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Dacu » 20 Mar 2020, 06:22

Black Jack a écrit:Salut,

x est forcément impair --> x = 2n+1

4n² + 4n + 1 - 2y² + 8z = 2u + 1
2n² + 2n - y² + 4z = u

On peut donc choisir n, y et z comme on veut (dans Z³) et en tirer la valeur de u

exemple :
n = 3 --> x = 2n+1 = 7
y = -2
z = 5

--> u = 2n² + 2n - y² + 4z = 40

8-)

Bonjour,

Je ne comprends pas!Comment avez-vous trouvé et ?
Quelles sont les valeurs de si ?Comment trouvons-nous toutes les solutions ? Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu
Modifié en dernier par Dacu le 20 Mar 2020, 06:39, modifié 3 fois.
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.

Dacu
Membre Rationnel
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Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Dacu » 20 Mar 2020, 06:33

annick a écrit:Bonjour,
je suis un peu étonnée que ce problème puisse être posé au collège !

Bonjour,

En Roumanie, le problème est de classe VIII pour ....et donc est un problème de gymnase.
----------------------------------------------------------
En Roumanie, le système d'enseignement préuniversitaire est le suivant:
1) Le système primaire avec des classes ,
2) Le système de gymnase avec des classes ,
3) Le système de lycée avec des classes .

Cordialement,

Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.

Black Jack

Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Black Jack » 20 Mar 2020, 11:00

"Je ne comprends pas!Comment avez-vous trouvé y et z?"


Je l'ai écrit :

"On peut donc choisir n, y et z comme on veut (dans Z³) et en tirer la valeur de u"

Il y a donc une infinité de solutions.

On choisit (comme on veut) n, y et z, et on calcule x par x = 2n+1, et puis on calcule u par u = 2n² + 2n - y² + 4z

J'ai donné un exemple parmi l'infinité qui existe.

Un autre exemple :

Je choisis (n'importe quoi dans Z³ pour n, y et z)

Je prends : n = 117 , y = 53 et z = -32

Je calcule : x = 2n+1 = 2*117 + 1 = 235
et je calcule u = 2n² + 2n - y² + 4z = 2*117² + 2*117 - 53² + 4*(-32) = 24675

Le quadruplet (x,y,z,u) = (235, 53, -32, 24675) est solution.

Et on vérifie évidemment que x² - 2y² + 8z = 2u + 1

235² - 2*53² + 8*(-32) =? 2*24675 + 1
49351 =? 49351
C'est OK

Je ne peux pas énumérer les quadruplets (x,y,z,u) solutions puisqu'il y en a une infinité.

... Mais j'ai donné le moyen d'en trouver autant qu'on veut par :

(x , y , z , u) = (2n+1 , y , z , 2n² + 2n - y² + 4z)

Dans lequel, on choisit arbitrairement dans Z³, n, y et z

*8-)

Black Jack

Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Black Jack » 20 Mar 2020, 15:08

Complément à ma réponse précédente :

Si on veut par exemple partir en choisissant u ...

En partant de u = 2n²+2n-y²+4z, on peut facilement montrer que u ne peut valoir que 4p ou bien (4p+3) (avec p dans Z)

A partir de ces 2 possibilités on montre que les quadruplets (x , y , z , u) solutions peuvent s'écrire :

(2n+1 , 2m , p + m² - n(n+1)/2 , 4p) (Avec n, m , p quelconques dans Z³)

ou

(2n+1 , 2m+1 , 1 + p + m² + m - n(n+1)/2 , 4p+3) (Avec n, m , p quelconques dans Z³)

1 exemple pour chacun des cas :

a)
(2n+1 , 2m , p + m² - n(n+1)/2 , 4p)

Choix de u = 4p
par ex : p = 5 --> u = 20
par ex : n = 3 et m = 9
--> (7 , 18 , 80 , 20) est solution.

b)
(2n+1 , 2m+1 , 1 + p + m² + m - n(n+1)/2 , 4p+3)

Choix de u = 4p + 3
par ex : p = 7 --> u = 31
par ex : n = 4 et m = 11
--> (9 , 23 , 130 , 31) est solution.
********
Comme on doit avoir (pour qu'il y ait des solutions) u = 4p ou u = 4p+3 (avec p dans Z), on voit évidemment que u = 1 ne peut pas convenir.

8-)

Dacu
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Re: La généralisation de l’équation [tex]x^2-2y^2+8z=3[/tex]

par Dacu » 22 Mar 2020, 07:10

Bonjour Black Jack,

Je comprends!Très intéressant!Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu
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