Exercice sur espaces vectoriels

[joquetino]

Bonjour à tous,

J'aurais une questions sur les espaces vectoriels. Je travaille souvent sur le site exo7 qui est plutôt pas mal.
Par contre, j'ai une question sur un exo.

Exercice :
Soit E = ∆1(R,R) l’espace des fonctions dérivables et F ={f ∈E | f(0) = f'(0) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E.

Pas de difficultés particulières pour montrer que F est un sous-espace vectoriel. (la fonction nulle est dans F, etc, …)
Je m'interroge plutôt sur le choix de l'ev supplémentaire.

Correction :
Analysons d’abord les fonctions de E qui ne sont pas dans F : ce sont les fonctions h qui vérifient h(0) /= 0 ou h'(0) /= 0. Par exemple les fonctions constantes x → b, (b ∈R∗) ou les homothéties x → ax, (a ∈R∗) n’appartiennent pas à F. Cela nous donne l’idée de poser G =x→ax+b|(a,b)∈R2 .Montrons que G est un supplémentaire de F dans E.

Il montre ensuite que F et G sont supplémentaires dans E.

Malgré tout, cette solution me chiffonne. Si je prend la fonction f(x) = cox (x).
La fonction est dérivable et appartient donc à E. Comment vais-je pouvoir, à partir de G et F, retrouver ma fonction cos(x) ? C'est la même chose pour exp(x) …

Peut-être ai-je mal compris quelque chose ?

Merci à vous pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

C'est simple. Soit une fonction dérivable quelconque. Si on lui soustrait une fonction dérivable telle que et , alors la fonction obtenue appartient au sous-espace ; d'accord ?
Que choisir comme fonction simple dont la valeur et la valeur de la dérivée en 0 sont fixées (à et respectivement) ? Bah, une fonction affine tout simplement : .
Les fonctions affines forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions dérivables, et l'intersection de ce sous-espace avec F est ... ?
Tu peux appliquer ça pour ou pour trouver la décomposition dans la somme directe ainsi obtenue.

[joquetino]

Ok merci bcp.