Une autre équation diophantienne

[Dacu]

Bonjour à tous,

Résoudre l'équation où .

Cordialement,

Dacu

[GaBuZoMeu]

Sous la forme

on voit que le problème se ramène à trouver les est divisible par 8. Ceci conduit à s'intéresser aux carrés modulo 8, c'est-à-dire aux restes des carrés dans la division par 8.

[Black Jack]

8z - 2y² est pair --> x² doit avoir la parité de 3 --> x est impair.

x = 2n + 1
4n² + 4n + 1 - 2y² + 8z = 3
4n² + 4n - 2y² + 8z = 2
2n² + 2n - y² + 4z = 1
raisonnement sur la parité ... y doit être impair

y = 2m+1

2n² + 2n - (4m²+1+4m) + 4z = 1
2n² + 2n - (4m²+4m) + 4z = 2
n² + n - (2m²+2m) + 2z = 1
n² + n - 2(m²+m) + 2z = 1

ce qui est impossible car [n² + n - 2(m²+m) + 2z] est pair.

Pas de solutions dans Z³

[Dacu]

8z - 2y² est pair --> x² doit avoir la parité de 3 --> x est impair.

x = 2n + 1
4n² + 4n + 1 - 2y² + 8z = 3
4n² + 4n - 2y² + 8z = 2
2n² + 2n - y² + 4z = 1
raisonnement sur la parité ... y doit être impair

y = 2m+1

2n² + 2n - (4m²+1+4m) + 4z = 1
2n² + 2n - (4m²+4m) + 4z = 2
n² + n - (2m²+2m) + 2z = 1
n² + n - 2(m²+m) + 2z = 1

ce qui est impossible car [n² + n - 2(m²+m) + 2z] est pair.

Pas de solutions dans Z³

Bonjour,

Élégant et compréhensible pour tous....Merci beaucoup!
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Comment résoudre l’équation avec la congruence?

Cordialement,

Dacu

[Dacu]

Sous la forme

on voit que le problème se ramène à trouver les est divisible par 8. Ceci conduit à s'intéresser aux carrés modulo 8, c'est-à-dire aux restes des carrés dans la division par 8.

Bonjour,

Je vous ai dit que je ne sais pas comment réduire une équation modulo "n"....s’il vous plaît montrer cette méthode étape par étape en cas de telles équations....Merci beaucoup!
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Voici une résolution de l’équation donnée par l’auteur:
Il est évident que et donc l’équation initiale devient .Il s’ensuit que et et donc il est obtenu , c'est-à-dire et c’est ça une contradiction.En conclusion , l’équation n’a pas de solutions dans .
Je comprends très facilement cette résolution.

Cordialement,

Dacu

[GaBuZoMeu]

Il existe tel que si et seulement si est divisible par 8, c.-à-d. si et seulement si .
Les carrés modulo 8 (autrement dit, les restes des carrés dans la division par 8), sont 1 (carrés d'impairs), 4 (carrés de pairs non divisibles par 4) et 0 (carrés de multiples de 4). Pour avoir la congruence ci-dessus on devrait avoir et donc , ce qui est impossible.

[Dacu]

Bonjour à tous,

En Roumanie, le problème est de classe VIII....et donc est un problème de gymnase.
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En Roumanie, le système d'enseignement préuniversitaire est le suivant:
1) Le système primaire avec des classes ,
2) Le système de gymnase avec des classes ,
3) Le système de lycée avec des classes .

Cordialement,

Dacu