Problèmes suite composée d’une suite

[Jkookarmy]

Bonjour, je pose ici avant l’énoncé pour que vous puissiez comprendre mes difficultés. Je bloque depuis un bout de temps que celui-ci.

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2016 et a enregistré 2500 inscriptions en 2016. Elle estime que, chaque année, 80% des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l’année suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents.

1- calculer le nombre d’adhérents en 2017 et en 2018.
J’ai trouvé U(1)= 2400 et U(2)= 2320
2- j’ai un peu expliqué le calcul : U(n+1)= 0,8xU(n) + 400
On modélise cette situation par une suite numérique (U(n)) on note U(0)= 2500 le nombre d’inscrits à la médiathèque en 2016 et U(n) représente le nombre d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2016+n. Ainsi, U(1) correspond au nombre d’adhérents en 2017...
On pose pour tout entier naturel n, V(n)= U(n)-2000
3-)
a) démontre que la suite V(n) est une suite geometrique dont on précisera la raison et le premier terme
J’ai trouvé : V(n+1)= 0,8*V(n)
Donc V(0)= U(0) - 2000
b) en déduire l’expression de V(n) en fonction de n, puis celle de U(n) en fonction de n
J’ai trouvé : V(n) = 500*0,8^n
On avait déjà U(n) = 2000 + V(n)
Mais je n’arrive pas à trouver de formule explicite.
c) étudier le sens de variation de la suite U(n)
J’ai calculé U(n+1) mais à partir de U(n+1) = 1600 + (400*0,64^n)+400
Je bloque, le résultat est-il 2400*0,64^n ?
Je n’ai donc pas encore pu calculer U(n+1)-U(n) ...
4- on souhaite déterminer à partir de quelle année À, le nombre d’adhérents sera inférieur ou égal à 2050.
a) écrire un algorithme qui donne A
Dois je utilise V(n) ou bien U(n) ? Je ne comprends pas vraiment à quoi correspond V(n) vis à vis des adhérents
b) déterminer A
il faut d’abord avec l’algorithme du coup...

Je bloque depuis un bon moment sur cet exercice, j’ai vraiment du mal à avancer car on a fait peu de cours sur les suites géométriques et arithmétiques.

Merci d’avance pour votre aide.

[L.A.]

Bonsoir,

3b) effectivement U(n) = 2000+V(n) et tu peux ici expliciter V(n) puisque tu as sa formule.
3c) ça me semble faux mais sans doute perce que tu n'a pas la bonne formule.
4a) le nombre d'adhérents étant U(n), c'est lui qu'il faut comparer au seuil 2050, donc calculer étape par étape.
V(n) est une suite dite "auxiliaire" qui t'aide à trouver la formule de U(n) mais n'a pas vraiment de sens concret... on peut l'interpréter comme la différence entre U(n) et sa limite 2000.

[Jkookarmy]

D’accord merci beaucoup, peux-tu m’aider à comprendre la 3.c ? Je ne comprends pas comment faire pour calculer U(n+1) - U(n)

J’ai pensé à faire 0,8U(n) + 400 - (2000 + V(n))
Mais je ne comprends pas je trouve un résultat ou il y a toujours U(n)

[L.A.]

J’ai pensé à faire 0,8U(n) + 400 - (2000 + V(n))
Mais je ne comprends pas je trouve un résultat ou il y a toujours U(n)

Mélanger U(n) et V(n) n'est pas une bonne idée puisque du coup tu ne peux pas les simplifier. Il faut tout exprimer à partir de U(n), ou de V(n), ou de n ce qui est le mieux lorsque c'est possible.
La question 3b) te donne la formule explicite de U(n), et dans le même temps celle de U(n+1) puisqu'il suffit de remplacer n par n+1.
Du coup tu peux calculer la différence U(n+1)-U(n) : le résultat dépend de n, mais ce n'est pas un problème puisque tu veux juste son signe.

[Jkookarmy]

Je suis au stade 500*(0,8)^n+1 -500*(-0,8)^n

J’ai le droit de dire que ce sera forcément négatif ?

[LB2]

Bonjour,

il s'agit moins de faire une différence que de comparer deux termes successifs.

lorsque 0 < q < 1, comment varie la quantité q^n ?

Est-ce que q^n > q^(n+1) ou bien q^n < q^(n+1) ?

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Je suis au stade 500*(0,8)^(n+1) -500*(-0,8)^n

J’ai le droit de dire que ce sera forcément négatif ?

tu as 0,8^(n + 1) = 0,8 x 0,8^n ;
donc : 500 x 0,8^(n + 1) - 500 x 0,8^n = 500 x 0,8 x 0,8^n - 500 x 0,8^n .

Tu peux factoriser par : 500 x 0,8^n et voir ce que çà te donne .