EXPONENTIELLE DE MATRICE

[alibabadu59]

Bonjour ,
Je m'intéresse à la preuve du théorème suivant : l'exponentielle réalise une bijection entre les matrices nilpotentes et les matrices unipotentes.
Dans mon livre ,on utilise un développement en série entière de ln(In +N)
Peut-on toujours effectuer un développement en série entière quelque soit la matrice N? ll ne manque pas une condition sur la norme matricielle de N? N'est ce pas vrai uniquement si norme de N est inférieure à 1??
On utilise ensuite un développement limité et j'ai du mal à comprendre...
Merci

[L.A.]

Bonsoir,

je dis peut-être une bêtise, mais si N est nilpotente, la série entière est une somme finie donc converge.
[edit] et pour le développement limité c'est peut-être une histoire de théorème d'inversion locale.

[LB2]

En fait alibabadu59, on peut se contenter d'utiliser une série formelle pour cette preuve et non une série entière, pour se débarasser des problèmes de convergence. Mais utiliser les séries entières et imposer une condition sur la norme de N fonctionne également. Je rappelle que la série entière de ln(1+x) a pour rayon de convergence 1. Quel est le point qui te pose problème précisément?

[alibabadu59]

Ok merci beaucoup !
Ce qui me pose problème c'est l'utilisation d'un développement limité avec des matrices... Il y a aucune condition à vérifier avant d'effectuer ce genre de DL? Merci

[Idriss]

Je rappelle que l'exponentielle d'une matrice nilpotente est une somme finie.

Si alors un DL à l'ordre suffit pour avoir l'exponentielle de (les autres termes de la série étant nuls).

[alibabadu59]

oui oui.
Mais il y a vraiment une histoire de théorème d'inversion locale ici? merci

[Idriss]

Je ne pense pas cela reste un problème d'algèbre, avec

et la fonction
est la fonction réciproque.

lorsque l'on travaille avec des matrices tel que