Justification

[pierrelouisbourgeois]

Bonjour,

J'aimerai justifier ces 2 inégalités mais ne sais pas vraiment par où commencer...

Sachant que a>=3



et



Merci pour votre aide précieuse (je m'entraine pour les olympiades de mercredi prochain...)

[pierrelouisbourgeois]

*Il manque un "+" à la première inégalité.

[LB2]

Bonjour,

une technique de base pour minorer tes sommes :

- combien y a t il de termes?
- peut-on minorer chaque terme (même grossièrement) simplement?

Ensuite, pour raffiner un peu, on peut appliquer cette technique de base non pas à toute la somme, mais à des paquets de termes bien choisis.

une autre approche :

- si tu considères ta quantité comme une fonction de a, que peux tu dire sur ses variations ?

[pierrelouisbourgeois]

Merci de la réponse.

En fait je ne vois pas vraiment à quoi "ressemble" la première somme. Comment est-ce que l'on passe de a+1, a+2... à un facteur 2a à l'arrivée ?

[pierrelouisbourgeois]

une autre approche :

- si tu considères ta quantité comme une fonction de a, que peux tu dire sur ses variations ?

Elle serait décroissante ?

[GaBuZoMeu]

Est-ce qu'il n'est pas précisé dans l'énoncé que a est entier ? C'est ça qui te gène ?

Pour enfoncer le clou de LB2, la première somme est une somme de ?? termes, tous supérieurs ou égaux à ??

[pierrelouisbourgeois]

oui a est un entier ; en fait pour moi si l'on continue de sommer on aura 1/(a+4) + 1/(a+5) + ... +1(a+n) ; mais je ne vois pas pourquoi à l'arrivée (i.e le dernier terme) on 1/2a

Ainsi, il y aurait n termes tous supérieurs ou égaux à 1/2a

[GaBuZoMeu]

M'enfin ?? Si a+n (entier) est égal à 2a (entier), que vaut n (le nombre de termes) ?

[pierrelouisbourgeois]

a = n ; désolé je ne l'avais pas vu comme ça ^^

[pierrelouisbourgeois]

Est-ce que cela signifie que la seconde inégalité comporte n = 4a -1 termes ?

[Carpate]

La deuxième inégalité est donc injustifiable ...

[LB2]

Est-ce que cela signifie que la seconde inégalité comporte n = 4a -1 termes ?

Non.

Combien d'entiers consécutifs y a-t-il entre a+1 et 4a ?

Autrement dit, quel est le cardinal de l'ensemble d'entier [[a,b]] ?

[pierrelouisbourgeois]

n= 3a ?

[pierrelouisbourgeois]

Autrement dit, quel est le cardinal de l'ensemble d'entier [[a,b]] ?

A quoi correspond "b"?

[GaBuZoMeu]

Tu as effectivement 3a termes dans la deuxième somme. Et tous les termes sont supérieurs ou égaux à 1/4a. Manque de pot, ça fait une minoration par 3/4.
Il faut donc être un peu plus rusé. LB2 a plus ou moins vendu la mèche plus haut : faire des petits paquets.

[lyceen95]

Souvent, quand un exercice contient 2 questions, on utilise le résultat de la 1ère question pour répondre à la 2ème.

[pierrelouisbourgeois]

Oui c'est ce que j'allais dire mais après avoir essayé plein de choses je vois bien que ce n'est pas correct.
Est-ce que cette égalité peut m'aider ?

[LB2]

Il faut surtout réfléchir à quand est-ce que la minoration 1/k > 1/4a est précise et quand elle ne l'est pas. Pour certains termes, on peut l'améliorer