Forme quadratique

[LauraLe]

Bonjour, j’ai deux exercices qui me posent problèmes.

Voici le lien qui amène au sujet : https://ibb.co/58GPHLH

Pour le premier j’ai réussi à faire la première question mais je n’arrive pas à trouver le cône isotrope (question 2). En effet je sais le trouver quand la forme quadratique est sous forme de x mais je suis perdue lorsque qu’il y a des polynômes... . Cependant je me doute qu’il faut résoudre que q(P)=0 mais je n’y arrive pas. De même pour la question 3 je bloque totalement. Par exemple pour le range normalement je fais la matrice et après le déterminant mais dans ce cas ici je ne comprends pas comment il faut faire... Pour les questions 4-5-6 j’ai essayé plusieurs trucs mais je ne parviens pas à trouver.

Pour l’exercice 2, la question 1) j’ai mis q sous forme de la méthode de Gauss et j’ai trouvé : q(x) = 1/4((x1+x2)^2 - (x1-x2)^2) etc pour les autres termes. Pour trouver le rang je ne sais pas comment m’y prendre avec ça. Je pensais peut être faire la forme polaire la matrice associé et trouver le rang comme ça. La signature je sais c’est le nombre de carré positif et négative mais je bloque aussi. Quant à la base q-orthogonale je dois faire q(x)=0 donc j'utilise ce que j'ai trouvé avant avec q(x)=1/4((x1+x2)^2 - (x1-x2)^2)...
Ensuite je dis que q(x)= X1^2+X2^2+...X8^2 Donc pour j'ai X1=1/2(x1+x2) X2=1/2(x1-x2) etc jusqu'à X8. Mais lorsque je cherche une base orthogonale c'est à dire je résouds X1=! (différent) 0 et X2=X3=...=X8=0 je n'arrive pas à trouver laes x1,x2,x3,x4 qui résoud ceci ...
Quànd a la question 2) je ne sais pas trop par où commencer à part par lambda=0.

Je vous remercie d’avoir lu jusqu’ici et je vous remercie d’avance pour vos réponses ! Je vous souhaite à tous une bonne journée

[pascal16]

vu de loin : q(P)=0
comme (p")² vu comme fonction polynôme est positif, pour avoir son intégral entre 0 et 1 nulle, il faut :
p" est le polynome nul
=> P est de degré iuférieur ou égal à 1

[LauraLe]

Merci !
Exactement, j'ai réussi finalement à cette question.
J'ai également trouver le noyau qui est égal au cône isotrope. Pour la signature je sais que c'est de la forme (p+,0) car q est positive mais j'hésite entre p+=1 ou p+=2. De même pour le rang, j'utiliserais le th. d'inertie de Sylvester mais il faut d'abord que j'ai la signature. Avez-vous une idée ?
Bonne journée

[LB2]

Bonjour,

la méthode de Gauss permet de décomposer q en carrés et donc de trouver la signature de q

[fatal_error]

slt,

> "j’ai mis q sous forme de la méthode de Gauss"
tu peux isoler x1 pour l'éliminer "complètement"
x1(x2+x4) + ...
d'où (x1 + (x2+x4))^2 - (x1 - (x2+x4))^2
puis et il reste x2x3 et x3x4 que tu peux gérer de la même manière avec x3(x2+x4)
ce qui te fait normalement deux carré positifs et deux carrés négatifs (d'où rang 4 (2+2)

edit: et donc l'existence d'une base q-orthogonale de R^4) raisonnement probablement faux

[LauraLe]

> " d'où (x1 + (x2+x4))^2 - (x1 - (x2+x4))^2 "

Ne serait-ce pas 1/4((x1 + (x2+x4))^2 - (x1 - (x2+x4))^2) parce que lorsque je développe votre expression j'obtiens 4x1x2+4x1x4

De plus je note donc X1=1/2(x1+x2+x4) donc c'est positif je suis totalement d'accord mais pour X2=1/2(x1-x2-x4) comment savez-vous que c'est négatif ?

Pour finir je ne comprends pas bien votre "edit" ? Est-ce que parce qu'il y a X1, X2,X3, X4 vous avez l'intuition de l'existence d'une base q-othogonale de R^4 ? Je ne comprends pas désolé

[GaBuZoMeu]

Il faut savoir appliquer correctement la réduction en carrés de Gauss.
Ici on ne voit au départ aucun carré de variable, on ne peut donc pas compléter le carré pour éliminer une variable. Il faut donc éliminer deux variables en complétant un produit, par exemple le produit . On le complète en mettant d'un côté tout ce qui est facteur de , de l'autre tout ce qui est facteur de . La forme quadratique se réécrit donc

où ?? ne contient plus ni ni . Mais qu'est ce que ce ?? ici ?
Après, on transforme le produit en différence de carrés par la méthode habituelle.
Au bout de la réduction en carrés faite correctement, on lit le rang et la signature de la forme quadratique.

[LauraLe]

Ah oui d'accord j'ai compris votre raisonnement merci.
donc q(x)=(x1+x3)(x2+x4)
et donc ??=0 dans ce cas là.
donc q(x)=1/4((x1+x3+x2+x4)^2-(x1+x3-x2-x4)^2)
Je réécris q(x)=X1^2-X2^2
avec X1=1/2(x1+x3+x2+x4) donc c'est positif
X2=1/2(x1+x3-x2-x4) et là je ne sais pas

Le rang est donc rg(q)=2

Pour la base q-orthogonale (f1,f2), je cherche un vecteur X1=! 0 et X2=0 donc par exemple f1=(1,1,1,1) et X1=0 et X2!=0 donc par exemple f2=(1,1,-1,-1)
donc (f1,f2) est une base orthogonale

Pour la question 2) à part prendre lambda=0 je ne sais pas trop quoi faire...

[Kolis]

Pour la question 1. le cône isotrope est facile à trouver quand on sait que si l'intégrale de fonction continue positive est nulle alors la fonction est nulle.

Tu en déduis le noyau (car la forme est positive) donc le rang.
Au cas où tu trouves le noyau merci de l'indiquer sous la forme :
"Le noyau est l'espace vectoriel ??? " pas une vague liste de polynômes

[Kolis]

Merci !
Exactement, j'ai réussi finalement à cette question.
J'ai également trouver le noyau qui est égal au cône isotrope. Pour la signature je sais que c'est de la forme (p+,0) car q est positive mais j'hésite entre p+=1 ou p+=2. De même pour le rang, j'utiliserais le th. d'inertie de Sylvester mais il faut d'abord que j'ai la signature. Avez-vous une idée ?
Bonne journée

D'où sortent ces ?
Merci de préciser le noyau et le rang !

[LauraLe]

Le noyau est l'espace vectoriel R1[X]

Et pour p=1,2 je me suis complètement trompée !
Je dirais donc que dim R1[X]=2 donc dim N(q)=2
Par conséquent que rg(q)=n-1 (d'après le théorème du rang car dim E=n+1) et donc d'après le théorème d'inertie de Sylvester p+ + p- = rg(q) et comme q est positive je dirais que sg(q)=(n-1,0)

[Kolis]

C'est mieux comme ça !

[LauraLe]

Pour la question 4) j'ai donc appliquer la définition et j'ai réussi. De même pour la 5, j'ai trouvé.
Pour la 6), j'ai recherché le noyau et j'ai trouvé N(q_)={R2[X]} c'est à dire l'espace vectoriel réels des polynômes réels de degré inférieur ou égale à 2. Puis d'après le théorème du rang : dim E= dim N(q_)+rg(q_) j'ai trouvé rg(q_)=n-2 (car dim E=n+1 et dim N(q_)=3 ) et donc la sg(q_)=(n-2)

Pour l'exercice 2, j'ai un soucis. GaBuZoMeu m'a donné une méthode mais en l'appliquant je trouve un base q-orthogonale dee R^2 et pas R^4 j'ai donc mis q(x) sous une autre forme :
q(x)= 1/4((x1 + (x2+x4))^2 - (x1 - (x2+x4))^2) + 1/4((x3+(x2+x4))^2-(x3- (x2+x4))^2) = X1^2-X2^2+X3^2-X4^2.

Donc sg(q)=(2,2)
Et après lorsque je cherche une base q-orthogonale (f1,f2,f3,f4) je cherche donc :

X1!=0 et X2=X3=X4=0 mais je n'arrive pas à trouver le vecteur f1=(x1,x2,x3,x4) qui résout le système ... ainsi que les autres vecteurs de la base q-orthogonales.

[LauraLe]

Rectification !

Autant pour moi, je me suis trompée dans le message précédent. GaBuZoMeu avait raison, excusez-moi ! Il suffit juste de compléter la base avec X3=x3 et X4=x4 et après on obtient facilement la base q-orthogonale.

[Kolis]

Pas tout à fait : tu as trouvé une base de formes linéaires (la base duale) et on te demande une base de l'espace initial.
Mais ce n'est pas difficile d'en trouver une à partir de tes formes X (indices1,2,3,4).
Merci d'indiquer si tu as trouvé.

[GaBuZoMeu]

GaBuZoMeu avait raison, excusez-moi !

J'ai toujours raison.

[LauraLe]

Oui j'ai trouvé Kolis je vous remercie.
Une base q-orthogonale de R^4 est {(1,1,0,0), (1,-1,0,0) , (-1,0,1,0), (0,-1,0,1)}